Вопрос школьника
Проекции AB1 и AC1 сторон AB и AC треугольника ABC на прямую, проходящую через вершину A этого треугольника, оказались равными 7 см и 4 см . Найдите расстояния от проекции M1 точки M пересечения медиан треугольника до проекций вершин треугольника.
Ответ от учителя
Пусть точка M1 — это точка пересечения медиан треугольника ABC, а точки B1 и C1 — проекции вершин B и C на прямую, проходящую через вершину A.
Так как AM1 является медианой треугольника ABC, то она делит сторону BC пополам. Значит, BM1 = MC1.
Также из условия задачи известно, что AB1 = 7 см и AC1 = 4 см. Рассмотрим треугольник AB1M1. Он является прямоугольным, так как AB1 и AM1 — это катеты, перпендикулярные друг другу. Из теоремы Пифагора получаем:
BM1^2 = AB1^2 — AM1^2 = 7^2 — (BC/2)^2
Аналогично для треугольника AC1M1:
CM1^2 = AC1^2 — AM1^2 = 4^2 — (BC/2)^2
Так как BM1 = MC1, то можно приравнять выражения для BM1^2 и CM1^2:
7^2 — (BC/2)^2 = 4^2 — (BC/2)^2
3^2 = (BC/2)^2
BC/2 = 3
BC = 6
Теперь рассмотрим треугольник AB1B’. Здесь B’ — это проекция точки B на прямую, проходящую через вершину A. Из подобия треугольников AB1B’ и ABC получаем:
AB1/AB = B’F/AF
где F — это точка пересечения медиан треугольника ABC. Заменяем известные значения:
7/AB = B’F/AF
B’F = 7AF/AB
Аналогично для треугольника AC1C’:
C’F = 4AF/AC
Так как AM1 является медианой, то точка M1 делит AF в отношении 2:1. Значит, AF = 2/3 * AM1.
Подставляем значения:
B’F = 7 * 2/3 * AM1 / AB = 14/3 * AM1 / AB
C’F = 4 * 2/3 * AM1 / AC = 8/3 * AM1 / AC
Теперь рассмотрим треугольник AB’C’. Он является прямоугольным, так как AB’ и AC’ — это катеты, перпендикулярные друг другу. Из теоремы Пифагора получаем:
BC’^2 = B’F^2 + C’F^2 = (14/3 * AM1 / AB)^2 + (8/3 * AM1 / AC)^2
Так как BC’ = BC = 6, то можно решить уравнение относительно AM1:
(14/3 * AM1 / AB)^2 + (8/3 * AM1 / AC)^2 = 6^2
AM1^2 * (196/9AB^2 + 64/9AC^2) = 36
AM1^2 = 36 / (196/9AB^2 + 64/9AC^2)
AM1^2 = 36 * 9AB^2 * 9AC^2 / (196AB^2 + 64AC^2)
AM1 = 6 * 3AB * 3AC / sqrt(196AB^2 + 64AC^2)
Ответ: расстояние от проекции M1 точки M пересечения медиан треугольника до проекций вершин треугольника равно 6 * 3AB * 3AC / sqrt(196AB^2 + 64AC^2).
