Вопрос школьника
Проекции двух сторон остроугольного треугольника ABC на прямую АС имеют длину 6 см и 4 см. Какую длину имеют проекции медиан этого треугольника на ту же прямую?
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойство медиан треугольника, которое гласит: медиана треугольника делит соответствующую ей сторону пополам.
Пусть точка D — середина стороны AB, точка E — середина стороны BC, а точка F — середина стороны AC. Тогда медианы треугольника ABC — это отрезки DF, AE и BE.
Заметим, что проекция точки D на прямую AC — это середина отрезка проекции AB на прямую AC. Аналогично, проекция точки E на прямую AC — это середина отрезка проекции BC на прямую AC.
Пусть проекция AB на прямую AC имеет длину x, а проекция BC на прямую AC имеет длину y. Тогда, согласно свойству медиан, отрезки DF, AE и BE делят соответствующие им стороны пополам, то есть:
AD = DB = x/2
EC = CB = y/2
AF = FC = (x + y)/2
Теперь нам нужно найти длину проекции каждой из медиан на прямую AC. Для этого нам нужно найти длину отрезка, соединяющего середину медианы с точкой пересечения медиан (центром тяжести) треугольника.
Известно, что центр тяжести треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, если точка G — центр тяжести треугольника ABC, то:
DG = 2/3 * AD = x/3
EG = 2/3 * EC = y/3
FG = 2/3 * AF = 2/3 * (x + y)/2 = (x + y)/3
Таким образом, длина проекции медианы DF на прямую AC равна длине отрезка, соединяющего точки D и G, то есть:
DF’ = DG — FG = x/3 — (x + y)/3 = -y/3
Аналогично, длина проекции медианы AE на прямую AC равна:
AE’ = EG — FG = y/3 — (x + y)/3 = -x/3
И, наконец, длина проекции медианы BE на прямую AC равна:
BE’ = FG = (x + y)/3
Ответ: проекция медианы DF на прямую AC имеет длину -y/3, проекция медианы AE — длину -x/3, а проекция медианы BE — длину (x + y)/3.
