Вопрос школьника
Произведение трех положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел больше суммы обратных им чисел. Докажите, что из трех данных чисел точно одно больше 1.
Ответ от учителя
Пусть три положительных числа, произведение которых равно 1, обозначены как a, b и c. Тогда мы можем записать:
abc = 1
Также дано, что сумма этих чисел больше суммы их обратных:
a + b + c > 1/a + 1/b + 1/c
Мы можем умножить обе части неравенства на abc, чтобы избавиться от знаменателей:
a^2bc + ab^2c + abc^2 > bc + ac + ab
Теперь мы можем заметить, что каждый из членов на правой стороне неравенства меньше или равен произведению двух из трех чисел. Например, bc <= b*c, ac <= a*c и ab <= a*b. Поэтому мы можем записать: a^2bc + ab^2c + abc^2 <= a^2*b*c + a*b^2*c + a*b*c^2 = abc(a*b + b*c + a*c) Таким образом, мы получаем: abc(a*b + b*c + a*c) > abc(a*b + b*c + a*c)
Это противоречие говорит о том, что наше предположение о том, что все три числа меньше или равны 1, неверно. Поэтому, по крайней мере, одно из чисел должно быть больше 1.
