Вопрос школьника
Производится 5 выстрелов в мишень. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 3/4 . Найти вероятность того, что в мишени будет не менее трёх, но и не более четырёх пробоин. Найти наивероятнеишее число попаданий и соответствующую ему вероятность.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся биномиальным распределением. Пусть X — число попаданий в мишень из 5 выстрелов. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n=5 и p=3/4.
Вероятность того, что в мишени будет не менее трёх, но и не более четырёх пробоин, можно найти как сумму вероятностей событий X=3 и X=4:
P(3<=X<=4) = P(X=3) + P(X=4) P(X=k) = C(5,k) * (3/4)^k * (1/4)^(5-k), где C(5,k) - число сочетаний из 5 по k. P(X=3) = C(5,3) * (3/4)^3 * (1/4)^2 = 0.2637 P(X=4) = C(5,4) * (3/4)^4 * (1/4)^1 = 0.3955 P(3<=X<=4) = 0.2637 + 0.3955 = 0.6592 Таким образом, вероятность того, что в мишени будет не менее трёх, но и не более четырёх пробоин, равна 0.6592. Наиболее вероятное число попаданий можно найти как значение k, при котором P(X=k) максимально. Для этого можно построить таблицу значений вероятностей для всех возможных значений k: k | P(X=k) --|------- 0 | 0.00098 1 | 0.01465 2 | 0.08789 3 | 0.26367 4 | 0.39551 5 | 0.23730 Из таблицы видно, что наиболее вероятное число попаданий - 4, соответствующая ему вероятность - 0.3955.
