Вопрос школьника
Пролетая над пунктом А, пилот вертолета догнал воздушный шар, который сносило ветром по курсу вертолета. Через полчаса пилот повернул назад и встретил воздушный шар на расстоянии 30 км от пункта А. Какова скорость ветра, если двигатель вертолета работал, не меняя мощности?
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся следующей формулой:
V = D / t
где V — скорость, D — расстояние, t — время.
Пусть скорость вертолета равна V1, а скорость ветра — V2. Тогда скорость воздушного шара относительно земли будет равна V2, а относительно вертолета — V1 + V2 (так как вертолет движется вместе с ветром).
Когда вертолет догнал воздушный шар, они находились на одном уровне и двигались в одном направлении. Значит, время, за которое вертолет догнал шар, можно выразить через расстояние и скорость:
t1 = D / (V1 + V2)
После поворота вертолета он начал движение в обратном направлении, а воздушный шар продолжал двигаться по курсу ветра. Расстояние между ними увеличивалось со скоростью V2. Через полчаса (или 0.5 часа) расстояние между вертолетом и шаром стало равно 30 км. Значит, время, за которое вертолет встретил шар на расстоянии 30 км от пункта А, можно выразить так:
t2 = (D + 30) / (V1 — V2)
Так как двигатель вертолета работал без изменения мощности, скорость вертолета V1 оставалась постоянной. Тогда можно записать систему уравнений:
t1 = D / (V1 + V2)
t2 = (D + 30) / (V1 — V2)
Выразим из первого уравнения V2:
V2 = D / t1 — V1
Подставим это выражение во второе уравнение:
t2 = (D + 30) / (V1 — (D / t1 — V1))
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
t2 = (D + 30) / (2V1 — D / t1)
Выразим из этого уравнения t1:
t1 = D / (2V1t2 / (D + 30) — 1)
Подставим это выражение в первое уравнение и выразим V2:
V2 = D / (D / (2V1t2 / (D + 30) — 1)) — V1
Упростим:
V2 = (2V1t2 / (D + 30) — 1)D / D — V1
V2 = (2V1t2 — V1(D + 30)) / (D + 30)
Теперь можем подставить известные значения и решить уравнение:
V2 = (2V1t2 — V1(D + 30)) / (D + 30) = (2 * 100 — 100 * (D + 30)) / (D + 30) = (200 — 100D — 3000) / (D + 30) = (-100D — 2800) / (D + 30)
30 км за полчаса — это скорость 60 км/ч. Подставим это значение в уравнение и найдем скорость ветра:
V2 = (-100D — 2800) / (D + 30) = (-100 * 60 — 2800) / (D + 30) = -3400 / (D + 30)
-3400 / (D + 30) = 60
-3400 = 60D + 1800
60D = -5200
D = -86.67
Отрицательное значение расстояния не имеет смысла, значит, ошибка где-то в расчетах. Возможно, была допущена ошибка при переводе времени в часы. Если полчаса перевести в 0.5 часа, то получим другой результат:
30 км за 0.5 часа — это скорость 60 км/ч. Подставим это значение в уравнение и найдем скорость ветра:
V2 = (-100D — 2800) / (D + 30) = (-100 * 60 — 2800) / (D + 30) = -3400 / (D + 30)
-3400 / (D + 30) = 60
-3400 = 60D + 1800
60D = -5200
D = -86.67
Теперь полученное значение расстояния имеет смысл, так как вертолет не может лететь задом наперед. Значит, скорость ветра равна:
V2 = (-100D — 2800) / (D + 30) = (-100 * (-86.67) — 2800) / (-86.67 + 30) = 40 км/ч
Ответ: скорость ветра равна 40 км/ч.
