Вопрос школьника
Протон влетает в однородное магнитное поле под углом α=30° к направлению поля и движется по винтовой линии радиусом R=1,5 см. Индукция магнитного поля B=0,1 Тл. Найти кинетическую энергию W протона
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать закон Лоренца, который описывает движение заряда в магнитном поле:
F = q(v x B),
где F — сила, действующая на заряд q, v — скорость заряда, B — индукция магнитного поля.
Так как протон движется по винтовой линии, то его скорость можно разложить на две составляющие: радиальную (v_r) и тангенциальную (v_t). Радиальная скорость не изменяется в магнитном поле, так как она направлена по радиусу винтовой линии. Тангенциальная скорость изменяется под действием магнитной силы.
Сила, действующая на протон, равна:
F = q(v x B) = qvBsinα,
где α — угол между направлением скорости и направлением магнитного поля.
Так как сила направлена перпендикулярно к направлению движения протона, то она не изменяет радиальную скорость, но изменяет тангенциальную скорость. Тангенциальная составляющая скорости изменяется по закону:
v_t = v_0sinωt,
где v_0 — начальная тангенциальная скорость, ω — угловая скорость винтовой линии, t — время.
Угловая скорость ω можно найти из радиуса винтовой линии и периода обращения протона вокруг оси винтовой линии:
ω = 2π/T = 2πv_r/(2πRv_t) = v_r/R.
Таким образом, тангенциальная скорость протона изменяется по закону:
v_t = v_0sin(v_r/R)t.
Из закона сохранения энергии можно найти начальную тангенциальную скорость протона:
E = mv_0^2/2,
где m — масса протона, E — его кинетическая энергия.
Таким образом, начальная тангенциальная скорость протона равна:
v_0 = √(2E/m).
Подставляя выражения для тангенциальной скорости и силы в уравнение движения, получаем:
m(v_r/R)^2 = qv_0Bsinαsin(v_r/R)t.
Решая это уравнение относительно времени t, получаем:
t = mR/v_rqBsinα * √(v_0^2 — v_r^2).
Таким образом, время, за которое протон пройдет один оборот винтовой линии, равно:
T = 2πt = 2πmR/v_rqBsinα * √(v_0^2 — v_r^2).
Из этого уравнения можно найти скорость протона на любом участке винтовой линии:
v = v_r + v_t = v_r + v_0sin(v_r/R)t.
Подставляя выражения для времени и начальной тангенциальной скорости, получаем:
v = v_r + √(2E/m)sin(v_r/R) * √(v_0^2 — v_r^2) / (qBRsinα).
Кинетическая энергия протона равна:
W = mv^2/2 = m(v_r^2 + v_t^2)/2 = mv_r^2/2 + mv_t^2/2 = mv_r^2/2 + m(v_0sin(v_r/R)t)^2/2.
Подставляя выражения для времени и начальной тангенциальной скорости, получаем:
W = mv_r^2/2 + m(v_0^2 — v_r^2)sin^2(v_r/R) / 2.
Подставляя значения радиуса винтовой линии, индукции магнитного поля и угла α, получаем:
W = 1.6 * 10^-16 Дж.
Ответ: кинетическая энергия протона равна 1.6 * 10^-16 Дж.
