Вопрос школьника
Проведите общую для всех изображенных на рисунке 9 треугольников высоту. Для какого из треугольников эта высота расположена вне его? 2. На рисунке 10 АВ = ВС, BE — медиана треугольника ABC. ∠ABE = 40°30′. Найдите ∠ABC и ∠FEC.
Ответ от учителя
1. Высота треугольника — это отрезок, проведенный из вершины перпендикулярно основанию. Для каждого изображенного на рисунке 9 треугольника можно провести высоту. Например, для треугольника ABC это будет отрезок BD, для треугольника ACD — AE, для треугольника ABD — CF. Однако, для треугольника ABE высота будет проходить вне его, так как вершина C не лежит на отрезке BE, а значит, нельзя провести перпендикуляр к этому отрезку из вершины C.
2. Из условия задачи известно, что AB = BC, а также угол ABE равен 40°30′. Так как медиана BE делит сторону AC пополам, то AB = BC = 1/2 AC. Обозначим угол ABC через x. Тогда из треугольника ABE следует, что угол AEB равен 180° — 2*∠ABE = 99°. Так как угол AEB является суммой углов ABC и BEC, то получаем уравнение:
x + ∠FEC = 99°
Также из треугольника ABC следует, что угол BAC равен 180° — 2x. Так как медиана BE является биссектрисой угла BAC, то угол EBA равен 1/2 угла BAC, то есть ∠EBA = (180° — 2x)/2 = 90° — x. Так как угол ABE равен 40°30′, то угол AEB равен 180° — 2*40°30′ = 98°. Таким образом, угол EBA + ∠ABE + ∠ABC = 180°, откуда получаем уравнение:
(90° — x) + 40°30′ + x = 180°
Решая систему уравнений, получаем:
x = 49°15′, ∠FEC = 49°45′
