Вопрос школьника
Проволока длиной 12 дм согнута под прямым углом так, что площадь квадрата, построенного на воображаемой гипотенузе, оказалась наименьшей. Определите стороны полученного прямого угла.
Ответ от учителя
Пусть стороны согнутой проволоки равны $a$ и $b$, где $a$ — гипотенуза, а $b$ — катет. Тогда по теореме Пифагора $a^2 = b^2 + (12 — b)^2 = 2b^2 — 24b + 144$.
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна $a^2$. Нам нужно найти минимальное значение этой площади.
Для этого найдем производную функции $a^2$ по переменной $b$:
$frac{d}{db} (2b^2 — 24b + 144) = 4b — 24$
Приравняем производную к нулю и найдем значение $b$, при котором достигается минимум:
$4b — 24 = 0 Rightarrow b = 6$
Тогда $a^2 = 2 cdot 6^2 — 24 cdot 6 + 144 = 72$, и $a = sqrt{72} = 6sqrt{2}$.
Таким образом, стороны полученного прямого угла равны $b = 6$ и $a = 6sqrt{2}$.
