Вопрос школьника
Пружина жёсткости k одним концом присоединена к оси колеса массы m, которое может кататься без проскальзывания, а другим прикреплена к стене. Масса колеса равномерно распределена по ободу. Какова частота колебаний системы?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи необходимо использовать закон Гука для пружины и закон сохранения энергии механической системы.
Из закона Гука известно, что сила, действующая на пружину, пропорциональна ее деформации: F = -kx, где F — сила, k — коэффициент жесткости пружины, x — деформация пружины.
Из закона сохранения энергии следует, что полная энергия системы (кинетическая и потенциальная) остается постоянной во время колебаний: E = K + U = const, где K — кинетическая энергия колеса, U — потенциальная энергия пружины.
При малых колебаниях колесо можно рассматривать как материальную точку, движущуюся по окружности радиуса R. Тогда кинетическая энергия колеса будет равна K = (1/2)mv^2, где m — масса колеса, v — скорость его движения.
Потенциальная энергия пружины будет равна U = (1/2)kx^2, где x — деформация пружины.
Полная энергия системы будет равна E = (1/2)mv^2 + (1/2)kx^2.
При максимальном сжатии пружины деформация будет равна x = F/k, где F — сила, действующая на пружину. Эта сила будет равна силе тяжести колеса, т.е. F = mg.
Тогда полная энергия системы при максимальном сжатии пружины будет равна E = (1/2)mv^2 + (1/2)mg^2/k.
При максимальном вытяжении пружины деформация будет равна x = 0, а потенциальная энергия пружины будет равна U = 0.
Таким образом, полная энергия системы при максимальном вытяжении пружины будет равна E = (1/2)mv^2.
Из закона сохранения энергии следует, что E = const, т.е. (1/2)mv^2 + (1/2)mg^2/k = (1/2)mv0^2, где v0 — скорость колеса при максимальном вытяжении пружины.
Отсюда можно выразить скорость колеса при максимальном сжатии пружины: v = sqrt(v0^2 — 2g^2/k).
Период колебаний системы будет равен T = 2πR/v, где R — радиус колеса.
Итак, мы получили формулу для частоты колебаний системы: f = 1/T = v/2πR = sqrt((v0^2 — 2g^2/k)/(4π^2R^2)).
