Вопрос школьника
Пряма, проведена через вершину А трикутника ABC паралельно його протилежній стороні, утворює зi стороною АС кут, який дорівнює куту ВАС. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений
Ответ от учителя
Для доведення того, що трикутник ABC є рівнобедреним, необхідно показати, що дві його сторони мають однакову довжину.
За умовою задачі, пряма, проведена через вершину А трикутника ABC паралельно його протилежній стороні, утворює зі стороною АС кут, який дорівнює куту ВАС. Отже, ми можемо записати наступну рівність кутів:
∠BAC = ∠ACD
де D — точка перетину прямих AB і CD.
Також, за умовою задачі, ми знаємо, що пряма CD паралельна стороні AB трикутника ABC. Отже, ми можемо записати наступну рівність довжин сторін:
AD = BC
Тепер ми можемо застосувати теорему синусів до трикутників ABD і BCD:
sin(∠BAC) / sin(∠ABD) = AD / BD
sin(∠ACD) / sin(∠BCD) = CD / BD
Оскільки ∠BAC = ∠ACD та AD = BC, то ми можемо записати:
sin(∠ABD) / sin(∠BCD) = CD / BD
Але ми знаємо, що пряма CD паралельна стороні AB трикутника ABC, тому ∠ABD = ∠BCD. Отже, ми можемо записати:
sin(∠ABD) / sin(∠ABD) = CD / BD
або
1 = CD / BD
Таким чином, ми довели, що CD = BD. Оскільки AD = BC, то ми можемо стверджувати, що трикутник ABC є рівнобедреним.
