Вопрос школьника
Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перпендикулярна к плоскости АМО; б) MO⊥BD
Ответ от учителя
Для начала заметим, что прямая AM лежит в плоскости квадрата ABCD, так как она является биссектрисой угла A и пересекает сторону CD в ее средней точке. Также заметим, что прямая BD является диагональю квадрата ABCD и пересекает стороны AB и CD в их средних точках.
а) Поскольку прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, то она перпендикулярна и к любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, она перпендикулярна к прямой BD. Таким образом, прямая BD перпендикулярна к плоскости АМО.
б) Рассмотрим треугольник AOM. Он является прямоугольным, так как AM является биссектрисой угла A. Поскольку диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О, то точка О является серединой стороны AM. Таким образом, MO является медианой треугольника AOM, а также высотой, опущенной на гипотенузу AO. Следовательно, MO перпендикулярна к гипотенузе AO и, как мы уже знаем, к прямой BD. Таким образом, MO⊥BD.
