Вопрос школьника
Прямая b пересекает стороны АВ и ВС треугольника ABC соответственно в точках Е и F так, что угол EFB равен углу, который является вертикальным для угла ВСА. Докажите, что прямые EF и АС параллельны.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что угол EFB и вертикальный угол ВСА являются соответственными углами, так как они образованы пересечением параллельных прямых AB и EF. Значит, эти углы равны между собой.
Также заметим, что угол ВЕА и угол ВФС являются вертикальными углами, так как они образованы пересечением параллельных прямых AC и EF. Значит, эти углы также равны между собой.
Теперь рассмотрим треугольники АЕВ и ВFC. У них уже есть две пары равных углов: угол ВЕА равен углу ВФС и угол EFB равен вертикальному углу ВСА. Значит, третьи углы этих треугольников также равны между собой.
Третий угол треугольника АЕВ — это угол ВАЕ, а третий угол треугольника ВFC — это угол ВСF. Значит, эти углы также равны между собой.
Но углы ВАЕ и ВСF являются соответственными углами, так как они образованы пересечением параллельных прямых AC и EF. Значит, эти углы также равны между собой.
Итак, мы доказали, что у треугольников АЕВ и ВFC равны все три угла, то есть эти треугольники подобны. Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
Сторона АЕ соответствует стороне ВF, а сторона ВЕ соответствует стороне ВС. Значит, отношение длин сторон АС и EF равно отношению длин сторон АЕ и ВF, которое равно 1 (так как стороны АЕ и ВF равны). Значит, стороны АС и EF равны между собой, то есть прямые АС и EF параллельны.
