Вопрос школьника
Прямая ОА перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка AD. Докажите, что: a) AB = DB; б) AB=AC, если ОВ=ОС; в) OB = OC, если АВ=АС
Ответ от учителя
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами перпендикуляров и серединных перпендикуляров.
a) Поскольку точка О является серединой отрезка AD, то OD = DA. Также, поскольку прямая ОА перпендикулярна к плоскости ОВС, то она перпендикулярна и к отрезку BD. Значит, OD = DB. Из этих двух равенств следует, что DA = DB, то есть AB = DB.
б) Поскольку ОВ = ОС, то точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. Значит, ОА является высотой треугольника ВСА. Также, поскольку О является серединой отрезка AD, то OD = DA. Значит, ОD является серединным перпендикуляром к отрезку АС. Таким образом, ОА и ОD являются высотой и медианой треугольника АСВ соответственно. Значит, треугольник АСВ является равнобедренным, и AB = AC.
в) Поскольку АВ = АС, то точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. Значит, ОА является высотой треугольника ВСА. Также, поскольку О является серединой отрезка AD, то OD = DA. Значит, ОD является серединным перпендикуляром к отрезку АС. Таким образом, ОА и ОD являются высотой и медианой треугольника АСВ соответственно. Значит, треугольник АСВ является равнобедренным, и OB = OC.
