Вопрос школьника
Прямая OB перпендикулярна плоскости квадрата ABCD. Найдите площадь треугольника OAD, если OB = 8 см, АВ = 6 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту треугольника OAD, опущенную на сторону AD. Обозначим эту высоту через h.
Так как OB перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, то она проходит через центр квадрата O. Также из условия задачи известно, что AB = 6 см. Значит, точка B находится на расстоянии 3 см от центра O.
Рассмотрим треугольник OAB. Он является прямоугольным, так как AB – диаметр окружности, описанной вокруг квадрата ABCD. Значит, по теореме Пифагора:
OA² = OB² + AB² = 8² + 6² = 100
Отсюда получаем, что OA = 10 см.
Теперь рассмотрим треугольник OAD. Мы знаем, что OB перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, а значит, она перпендикулярна и к стороне AD. Значит, треугольник OAD является прямоугольным, и высота h, опущенная на сторону AD, равна расстоянию от точки A до прямой OB.
Чтобы найти это расстояние, нарисуем перпендикуляр к стороне AD, проходящий через точку B. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой OB через M.
Так как BM – высота треугольника OMB, а треугольник OMB является прямоугольным, то по теореме Пифагора:
OM² = OB² — BM² = 8² — 3² = 55
Отсюда получаем, что OM = √55 см.
Также заметим, что треугольник OMA является прямоугольным, так как OM – высота, опущенная на гипотенузу OA. Значит, по теореме Пифагора:
AM² = OA² — OM² = 100 — 55 = 45
Отсюда получаем, что AM = √45 см.
Таким образом, расстояние от точки A до прямой OB равно AM – BM = √45 – 3 см.
Итак, мы нашли высоту треугольника OAD:
h = √45 – 3 см.
Теперь можем найти площадь треугольника OAD:
S = (1/2) * OA * h = (1/2) * 10 * (√45 – 3) ≈ 20.2 см².
Ответ: площадь треугольника OAD равна примерно 20.2 см².
