Вопрос школьника
Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что расстояния от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны, б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм
Ответ от учителя
а) Пусть прямая ОК пересекает стороны ромба в точках E, F, G и H (см. рисунок). Так как ОК перпендикулярна к плоскости ромба, то она пересекает эту плоскость по прямой, проходящей через точку О и перпендикулярной диагоналям ромба. Эта прямая также является биссектрисой угла между диагоналями ромба, поэтому точки E, F, G и H делят стороны ромба на равные отрезки. Следовательно, расстояния от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.
б) Рассмотрим треугольник ОКЕ. Он прямоугольный, так как ОК перпендикулярна к стороне ЕА ромба. По теореме Пифагора:
$OE^2 = OK^2 + KE^2$
Так как стороны ромба равны, то ЕА = ВС = 6 дм и АВ = CD = 8 дм. Поэтому, отрезки ЕК и КН (где Н — середина стороны ВС) равны:
$EK = frac{1}{2}EA = 3$ дм
$KN = frac{1}{2}KC = frac{1}{2}(OK — OE) = frac{1}{2}(4,5 — sqrt{OK^2 — OE^2})$
Так как ОЕ = ОС — ЕС, то ОЕ можно выразить через стороны ромба:
$OE = sqrt{OC^2 — CE^2} = sqrt{(frac{1}{2}AC)^2 — (frac{1}{2}EA)^2} = sqrt{9 — 4.5^2} = 3sqrt{3}$ дм
Подставляя значения в формулу для KN, получаем:
$KN = frac{1}{2}(4,5 — sqrt{4.5^2 — (3sqrt{3})^2}) = frac{1}{2}(4,5 — sqrt{27}) = frac{1}{2}(4,5 — 3sqrt{3}) approx 0,38$ дм
Ответ: расстояние от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равно примерно 0,38 дм.
