Вопрос школьника
Прямая ОТ параллельна основанию CD трапеции ABCD, причем АО = OD. Докажите, что отрезок ОТ — средняя линия трапеции.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что отрезок ОТ является средней линией трапеции ABCD, нужно показать, что он делит боковые стороны трапеции на равные отрезки.
Из условия задачи следует, что прямая ОТ параллельна основанию CD трапеции ABCD и проходит через точки А и D, причем АО = OD. Обозначим точку пересечения прямой ОТ с боковой стороной AB как точку M, а точку пересечения с боковой стороной DC как точку N.
Так как прямая ОТ параллельна основанию CD, то углы AMO и DNO равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых. Также, так как АО = OD, то AM = DN.
Теперь рассмотрим боковую сторону AB. Она делится отрезком ОМ на две части: АМ и МО. Так как углы AMO и DNO равны, то их дополнительные углы AMB и DNC также равны. Таким образом, треугольники AMB и DNC подобны по двум углам, и соответствующие стороны пропорциональны. То есть:
AM/ND = AB/DC
Но мы уже знаем, что AM = DN, поэтому:
AM/AM = AB/DC
1 = AB/DC
AB = DC
Таким образом, мы доказали, что отрезок ОТ делит боковые стороны трапеции ABCD на равные отрезки, что и означает, что он является средней линией трапеции.
