Ответ на вопрос: Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK

Вопрос школьника

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK_KA=3:4, KM=18

Пусть точка пересечения прямой с стороной AB обозначена как L. Тогда, так как прямая параллельна стороне AC, то треугольники ABC и LMK подобны.

Из этого следует, что:

$frac{MK}{BC} = frac{KL}{AC}$

$frac{18}{BC} = frac{KL}{AC}$

Также, по условию задачи:

$frac{BK}{KA} = frac{3}{4}$

$frac{AK}{BK} = frac{4}{3}$

Теперь можно выразить KL через AC:

$KL = AK — AL = frac{4}{7}AC$

Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:

$frac{18}{BC} = frac{frac{4}{7}AC}{AC}$

$BC = frac{7}{4} cdot 18 = 31.5$

Теперь можно найти AC, используя теорему Пифагора в треугольнике ABC:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (BK + KA)^2 + BC^2 = (frac{7}{3}KA)^2 + (frac{7}{4} cdot 18)^2$

$AC^2 = frac{49}{9}KA^2 + 2835$

Так как $frac{BK}{KA} = frac{3}{4}$, то $BK = frac{3}{7}AC$ и $KA = frac{4}{7}AC$. Подставляя это в последнее уравнение, получаем:

$AC^2 = frac{49}{9}(frac{4}{7}AC)^2 + 2835$

$AC^2 = frac{784}{441}AC^2 + 2835$

$frac{343}{441}AC^2 = 2835$

$AC^2 = frac{2835 cdot 441}{343} = 3645$

$AC = sqrt{3645} approx 60.3$

Ответ: $AC approx 60.3$.