Вопрос школьника
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=12, AC=42, NC=25
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством параллельных прямых: соответственные углы равны. Обозначим угол ABC как α. Тогда угол MNC также равен α, так как прямая MN параллельна стороне AC.
Рассмотрим треугольник ABC. Из угла BAC следует, что угол ABC равен 180° — угол BAC — угол ACB. Подставим известные значения:
α = 180° — 90° — arctg(25/42) = 180° — 90° — 32,6° = 57,4°
Теперь рассмотрим треугольник BNC. Из угла BNC следует, что угол BNC равен 180° — угол ABC, так как BN параллельна AC. Подставим значение α:
угол BNC = 180° — 57,4° = 122,6°
Так как угол BNC больше 90°, то треугольник BNC является тупоугольным. Обозначим угол NBC как β. Тогда угол BNC равен 180° — угол NBC — угол NCB. Из угла NBC следует, что угол NBC равен 180° — угол MNC, так как BN параллельна AC. Подставим значение угла MNC:
угол NBC = 180° — 57,4° = 122,6°
Теперь рассмотрим треугольник BMN. Из угла MBN следует, что угол MBN равен углу NCB, так как прямая BN параллельна стороне AC. Из угла MNB следует, что угол MNB равен углу NBC. Подставим известные значения:
угол MBN = угол NCB = 180° — α — угол BNC = 180° — 57,4° — 122,6° = 0°
угол MNB = угол NBC = 122,6°
Таким образом, треугольник BMN является равнобедренным, и BN равно BM. Обозначим BM как х. Тогда из равнобедренности треугольника BMN следует, что MN = BM = х = 12.
Рассмотрим треугольник BNC. Из угла BNC следует, что sin(122,6°) = BN/NC. Подставим известные значения:
sin(122,6°) = BN/25
BN = 25*sin(122,6°) ≈ 23,5
Ответ: BN ≈ 23,5.
