Вопрос школьника
Прямая пересекает биссектрису ВМ треугольника ABC в точке В, которая является серединой отрезка ВМ, а сторону ВС — в точке К. Докажите, что если ОК ┴ ВМ, то МК ‖ АВ
Ответ от учителя
Для начала, построим треугольник ABC и отметим точки В, М и К на нем:
Теперь, чтобы доказать, что МК ‖ АВ, нам нужно использовать свойства биссектрисы и перпендикуляра.
Из условия задачи мы знаем, что точка В является серединой отрезка ВМ, а сторону ВС пересекает в точке К. Также нам дано, что ОК ┴ ВМ.
Из свойств биссектрисы мы знаем, что биссектриса угла ВАС делит сторону ВС на две части, пропорциональные смежным сторонам AB и AC:
BC/AB = BC/AC
Так как точка В является серединой отрезка ВМ, то мы можем записать:
BM = MV
Теперь рассмотрим треугольник ВМК. Мы знаем, что ОК ┴ ВМ, поэтому угол МКО является прямым. Также мы знаем, что точка В является серединой отрезка ВМ, поэтому отрезок ВК равен отрезку МК.
Теперь мы можем использовать свойства перпендикуляра. Из свойств перпендикуляра мы знаем, что угол МКО является прямым, а значит, угол МКВ также является прямым. Также мы знаем, что отрезок ВК равен отрезку МК.
Из этих свойств следует, что треугольник ВМК является прямоугольным и равнобедренным. А значит, угол ВМК равен углу МВК.
Теперь рассмотрим треугольник АВМ. Мы знаем, что точка В является серединой отрезка ВМ, поэтому отрезок АВ равен отрезку МВ.
Также мы знаем, что биссектриса угла ВАС делит сторону ВС на две части, пропорциональные смежным сторонам AB и AC:
BC/AB = BC/AC
Из этих свойств следует, что угол ВАМ равен углу МАС.
Теперь мы можем использовать свойства параллельных линий. Из свойств параллельных линий мы знаем, что если две прямые пересекаются так, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше 180 градусов, то эти прямые параллельны.
Мы знаем, что угол ВМК равен углу МВК, а угол ВАМ равен углу МАС. Так как угол ВМК и угол ВАМ лежат на одной стороне от прямой МК, то сумма этих углов меньше 180 градусов.
Из свойств параллельных линий следует, что прямая МК параллельна прямой АВ.
Таким образом, мы доказали, что если ОК ┴ ВМ, то МК ‖ АВ.
