Вопрос школьника
Прямая пересекает сторона АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АРМ к площади четырёхугольника МСВР, если АР : РВ = 5 : 4, АМ : МС = 3 : 5.
Ответ от учителя
Пусть S1 — площадь треугольника АВС, S2 — площадь треугольника АРМ, S3 — площадь треугольника ВРС, S4 — площадь треугольника СМР. Тогда площадь четырёхугольника МСВР равна S3 + S4.
Заметим, что треугольники АРМ и АВС имеют общую высоту, опущенную на сторону АВ. Поэтому отношение их площадей равно отношению соответствующих оснований:
S2/S1 = АР/АВ
АР/АВ = 5/(5+4) = 5/9
АМ/АС = 3/(3+5) = 3/8
Так как прямая пересекает сторону АВ в точке Р, то РВ = АВ — АР = 4/9 АВ. Аналогично, МС = 5/8 АС.
Теперь рассмотрим треугольник ВРС. Он подобен треугольнику АВС, так как углы ВРС и АВС прямые, а углы ВСР и АСВ равны (как вертикальные). Поэтому отношение сторон ВР и АВ равно отношению соответствующих высот:
ВР/АВ = СМ/АС
ВР = АВ — АР = 4/9 АВ
СМ = АС — АМ = 5/8 АС
ВР/АВ = (4/9 АВ)/АВ = 4/9
СМ/АС = (5/8 АС)/АС = 5/8
Таким образом, площадь четырёхугольника МСВР равна S3 + S4 = S1 — S2, а отношение площади треугольника АРМ к площади четырёхугольника МСВР равно:
S2/(S3+S4) = S2/(S1-S2) = (5/9)S1/((4/9)S1 + (5/8)S1 — (5/9)S1) = 5/7
Ответ: отношение площади треугольника АРМ к площади четырёхугольника МСВР равно 5/7.
