Вопрос школьника
Прямая пересекает стороны АВ i ВС треугольника ABC в точках М и К соответственно. Вершины даноготрикутника равноудалены от прямой МК. Докажите, что точки М i К является серединами сторон АВ i ВС соответственно
Ответ от учителя
Пусть точка О — середина отрезка МК. Так как вершины треугольника равноудалены от прямой МК, то точка О лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины А на МК. Аналогично, точка О лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины С на МК. Таким образом, точка О является точкой пересечения высот треугольника АСК. Значит, О лежит на высоте, опущенной из вершины В на сторону АС. Но так как О — середина МК, то О также является серединой стороны МК треугольника АМК. Значит, О лежит на медиане треугольника АВ, проходящей через середину стороны АМ. Таким образом, точка О является точкой пересечения медиан треугольника АВ, то есть О — середина стороны АВ. Аналогично можно доказать, что О является серединой стороны ВС. Значит, точки М и К являются серединами сторон АВ и ВС соответственно.
