Вопрос школьника
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырёхугольника
Ответ от учителя
Для начала найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
$c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 100$
$c = 10$
Теперь построим прямую, перпендикулярную гипотенузе и проходящую через ее середину. Эта прямая будет делить треугольник на две части, из которых одна будет прямоугольным треугольником, а другая — трапецией.
Для начала найдем координаты середины гипотенузы:
$x_0 = frac{6}{2} = 3$
$y_0 = frac{8}{2} = 4$
Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через эту точку и перпендикулярной гипотенузе. Так как прямая перпендикулярна гипотенузе, то ее направляющий вектор будет параллелен катету треугольника. Выберем направляющий вектор $vec{v} = (8, -6)$ (знак минус потому, что прямая перпендикулярна). Тогда уравнение прямой будет иметь вид:
$frac{x — x_0}{v_x} = frac{y — y_0}{v_y}$
$frac{x — 3}{8} = frac{y — 4}{-6}$
$-6x + 8y = 6cdot 4 — 8cdot 3$
$-6x + 8y = 0$
$3x — 4y = 0$
Теперь найдем точки пересечения этой прямой с катетами треугольника. Для этого решим систему уравнений:
$begin{cases} 3x — 4y = 0 \ y = 0 end{cases}$
Подставляем $y = 0$ в первое уравнение:
$3x = 0$
$x = 0$
Точка пересечения с катетом $AB$ имеет координаты $(0,0)$.
$begin{cases} 3x — 4y = 0 \ x = 6 end{cases}$
Подставляем $x = 6$ в первое уравнение:
$-4y = -18$
$y = frac{9}{2}$
Точка пересечения с катетом $BC$ имеет координаты $(6, frac{9}{2})$.
Теперь найдем координаты точек пересечения прямой с окружностью, вписанной в четырехугольник. Пусть радиус этой окружности равен $r$, а ее центр имеет координаты $(x_c, y_c)$. Тогда расстояние от центра окружности до прямой, проходящей через середину гипотенузы, равно $r$.
Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $ax + by + c = 0$ равно:
$d = frac{|ax_0 + by_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}$
В нашем случае $a = -6$, $b = 8$, $c = 0$. Подставляем:
$d = frac{|-6cdot 3 + 8cdot 4|}{sqrt{(-6)^2 + 8^2}} = frac{6}{sqrt{10}}$
Так как прямая проходит через центр окружности, то расстояние от центра до прямой равно $r$. Получаем уравнение:
$r = frac{6}{sqrt{10}}$
Теперь найдем координаты центра окружности. Для этого заметим, что центр окружности лежит на биссектрисе угла между прямой, проходящей через середину гипотенузы, и катетом $AB$. Эта биссектриса проходит через точку пересечения гипотенузы и катета $AB$, которая имеет координаты $(0,0)$.
Найдем угол между этой прямой и катетом $AB$:
$tan alpha = frac{8}{6} = frac{4}{3}$
$alpha = arctan frac{4}{3}$
Угол между биссектрисой и катетом $AB$ равен $frac{alpha}{2}$.
$tan frac{alpha}{2} = sqrt{frac{1 — cos alpha}{1 + cos alpha}} = sqrt{frac{1 — frac{3}{5}}{1 + frac{3}{5}}} = frac{sqrt{2}}{2}$
Так как биссектриса проходит через точку $(0,0)$, то ее уравнение имеет вид:
$y = kx$
Найдем коэффициент $k$. Для этого заметим, что угол между биссектрисой и катетом $BC$ равен $frac{pi}{2} — frac{alpha}{2}$.
$tan (frac{pi}{2} — frac{alpha}{2}) = cot frac{alpha}{2} = frac{1}{sqrt{2}}$
Так как биссектриса проходит через точку $(6, frac{9}{2})$, то ее уравнение имеет вид:
$y — frac{9}{2} = k(x — 6)$
$y = kx — 3k + frac{9}{2}$
Подставляем $y = kx$:
$kx = kx — 3k + frac{9}{2}$
$3k = frac{9}{2}$
$k = frac{3}{2}$
Таким образом, уравнение биссектрисы имеет вид:
$y = frac{3}{2}x$
Теперь найдем координаты точки пересечения биссектрисы и прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной гипотенузе. Эта точка будет являться центром окружности.
Уравнение прямой имеет вид:
$-6x + 8y = -6cdot x_c + 8cdot y_c$
Подставляем координаты центра окружности:
$-6x + 8y = -6cdot frac{3}{2} + 8cdot frac{3}{2}$
$-6x + 8y = 6$
$3x — 4y = -3$
Теперь решаем систему уравнений:
$begin{cases} y = frac{3}{2}x \ 3x — 4y = -3 end{cases}$
Подставляем $y = frac{3}{2}x$ во второе уравнение:
$3x — 4cdot frac{3}{2}x = -3$
$x = frac{2}{5}$
$y = frac{3}{2}cdot frac{2}{5} = frac{3}{5}$
Таким образом, центр окружности имеет координаты $(frac{2}{5}, frac{3}{5})$.
Теперь найдем площадь четырехугольника. Он состоит из двух треугольников и двух трапеций. Площадь треугольника $ABC$ равна:
$S_{ABC} = frac{1}{2}cdot 6cdot 8 = 24$
Площадь треугольника $ADE$ равна:
$S_{ADE} = frac{1}{2}cdot 2r cdot c = frac{1}{2}cdot 2cdot frac{6}{sqrt{10}}cdot 10 = 6sqrt{10}$
Площадь трапеции $ABED$ равна:
$S_{ABED} = frac{1}{2}cdot (AB + DE)cdot AD = frac{1}{2}cdot (6 + 2r)cdot 8 = 28$
Площадь трапеции $BCFE$ равна:
$S_{BCFE} = frac{1}{2}cdot (BC + EF)cdot BF = frac{1}{2}cdot (8 + 2r)cdot 6 = 26$
Таким образом, площадь четырехугольника равна:
$S = S_{ABC} + S_{ADE} + S_{ABED} + S_{BCFE} = 24 + 6sqrt{10} + 28 + 26 = 54 + 6sqrt{10}$
Ответ: $S = 54 + 6sqrt{10}$.
