Вопрос школьника
Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный
Ответ от учителя
Для доказательства того, что треугольник AMN является равнобедренным, необходимо показать, что AM = AN или, что эквивалентно, что углы AMN и ANM равны.
Рассмотрим биссектрису угла А, которая делит его на два равных угла. Обозначим точку пересечения биссектрисы с стороной АС как точку В.
Так как угол АВС является прямым, то угол АВМ и угол АВН являются противоположными углами, а значит, они равны между собой. Также, угол МВА и угол НВА являются прямыми, а значит, они тоже равны между собой.
Таким образом, мы получили, что углы АВМ и АВН равны между собой, а углы МВА и НВА тоже равны между собой. Значит, треугольники АВМ и АВН равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, они равны в целом.
Теперь рассмотрим треугольники АМН и АВН. Угол АВН равен углу АМН, так как они являются вертикальными углами. Также, сторона АВ равна самой себе. Из предыдущего пункта мы знаем, что сторона АН равна стороне АМ. Значит, треугольники АМН и АВН равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, они равны в целом.
Таким образом, мы доказали, что треугольник AMN является равнобедренным, так как сторона АМ равна стороне АН.
