Вопрос школьника
Прямая, проходящая через биссектрису внешнего угла при вершине А параллелограмма ABCD, при пересечении с прямыми ВС и CD образуют треугольник CB1D1 Найдите сумму длин сторон СВ1 и CD, этого треугольника, если периметр параллелограмма ABCD равен/р.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что биссектриса внешнего угла при вершине А параллелограмма ABCD делит угол на два равных угла. Таким образом, угол BAC равен углу CAD.
Так как прямая, проходящая через биссектрису угла BAC, параллельна стороне BC, то угол B1AC равен углу ABC. Аналогично, угол D1AC равен углу ADC.
Теперь рассмотрим треугольник CB1D1. Угол B1CD1 равен сумме углов B1AC и D1AC, то есть углу ABC и углу ADC. Таким образом, угол B1CD1 равен углу BCD.
Так как угол BCD является внутренним углом параллелограмма ABCD, то он также равен углу BAD. Таким образом, угол B1CD1 равен углу BAD.
Теперь мы знаем, что угол B1CD1 равен углу BAD, а сторона CD параллельна стороне AB. Таким образом, треугольник B1CD1 подобен треугольнику ABD.
Отсюда следует, что отношение длины стороны BD к длине стороны CD равно отношению длины стороны AB к длине стороны B1C. То есть:
BD/CD = AB/B1C
Мы знаем, что периметр параллелограмма ABCD равен 2AB + 2BC = 2AB + 2CD. Таким образом, AB + CD = (периметр ABCD)/2.
Также мы знаем, что сторона B1C равна стороне BC, так как прямая, проходящая через биссектрису угла BAC, параллельна стороне BC.
Таким образом, мы можем выразить BD через CD:
BD = AB + BC = AB + B1C = AB + CD*(AB/B1C)
Теперь мы можем выразить сумму длин сторон СВ1 и CD через CD:
СВ1 + CD = BC + B1C + CD = CD*(1 + AB/B1C + 1) = CD*(2 + B1C/AB)
Но мы знаем, что B1C/AB = 1, так как угол B1AC равен углу ABC. Таким образом, B1C/AB = BC/AB = CD/BD.
Таким образом, мы получаем:
СВ1 + CD = CD*(2 + CD/BD) = CD*(2 + CD/(AB + CD))
Ответ: Сумма длин сторон СВ1 и CD равна CD*(2 + CD/(AB + CD)).
