Вопрос школьника
Прямая, проходящая через центр прямоугольника перпендикулярно его диагонали, пересекает большую сторону прямоугольника под углом 60°. Длина отрезка этой прямой, заключённого внутри прямоугольника, равна 10. Найдите длину большей стороны прямоугольника.
Ответ от учителя
Пусть прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$, где $a>b$. Обозначим центр прямоугольника буквой $O$, а точку пересечения прямой с большей стороной — точкой $M$.
Так как прямая проходит через центр прямоугольника и перпендикулярна его диагонали, то она делит диагональ на две равные части. Обозначим точку пересечения прямой с диагональю буквой $N$. Тогда $ON$ является высотой прямоугольника, а $OM$ — его половиной.
Так как прямая пересекает большую сторону под углом 60°, то треугольник $OMN$ является равносторонним. Значит, $OM=ON/2$.
По условию задачи, длина отрезка прямой, заключенного внутри прямоугольника, равна 10. Значит, $OM=10$.
Таким образом, $ON=2OM=20$. Так как $ON$ является диагональю прямоугольника, то по теореме Пифагора:
$$a^2+b^2=ON^2=400$$
Также из условия задачи следует, что $a>b$. Попробуем найти возможные значения $a$ и $b$, удовлетворяющие этому условию и уравнению $a^2+b^2=400$.
Если $a=20$, то $b=0$, что не подходит, так как стороны прямоугольника должны быть положительными.
Если $a=15$, то $b=5$.
Если $a=10sqrt{2}$, то $b=10sqrt{2}-10$.
Если $a=10$, то $b=10sqrt{3}-10$.
Если $a=5sqrt{13}$, то $b=5sqrt{13}-5sqrt{3}$.
Если $a=2sqrt{85}$, то $b=2sqrt{85}-2sqrt{15}$.
Таким образом, возможные значения $a$ и $b$ — это $a=15$ и $b=5$, или $a=10sqrt{2}$ и $b=10sqrt{2}-10$, или $a=10$ и $b=10sqrt{3}-10$, или $a=5sqrt{13}$ и $b=5sqrt{13}-5sqrt{3}$, или $a=2sqrt{85}$ и $b=2sqrt{85}-2sqrt{15}$.
Ответ: длина большей стороны прямоугольника может быть равна 15, $10sqrt{2}$, 10, $5sqrt{13}$ или $2sqrt{85}$.
