Вопрос школьника
Прямая, проходящая через точку A на стороне MN треугольника MNP параллельно стороне MP, пересекает сторону NP в точке B. Найдите:
а) сторону MP, учитывая, что MA = 3 см, AB = 7 см, AN = = 5 см;
б) сторону MN, учитывая, что MA = 40 мм, MP = 80 мм, АВ = 60 мм.
Ответ от учителя
а) По условию задачи, прямая, проходящая через точку A на стороне MN параллельно стороне MP, пересекает сторону NP в точке B. Значит, треугольники MAB и MPB подобны, так как у них соответственные углы равны (угол BMA и угол BMP — прямые, угол ABM и угол PBM — соответственные). Тогда отношение сторон треугольников равно отношению соответствующих сторон:
$frac{AB}{MP} = frac{MA}{MB}$
Подставляем известные значения:
$frac{7}{MP} = frac{3}{MB}$
Переносим MB в левую часть уравнения:
$MB = frac{3 cdot MP}{7}$
Теперь можем найти сторону MP, используя теорему Пифагора в треугольнике AMB:
$AB^2 = AM^2 + MB^2$
$7^2 = 3^2 + left(frac{3 cdot MP}{7}right)^2$
$49 cdot 49 = 9 cdot 49 + 9 cdot MP^2$
$2401 — 441 = 9 cdot MP^2$
$MP^2 = frac{1960}{9}$
$MP = frac{20sqrt{35}}{3}$ см
б) Аналогично, треугольники MAB и ANB подобны, так как у них соответственные углы равны (угол BMA и угол BNA — прямые, угол ABM и угол NAB — соответственные). Тогда отношение сторон треугольников равно отношению соответствующих сторон:
$frac{AB}{AN} = frac{MA}{NB}$
Подставляем известные значения:
$frac{60}{5} = frac{40}{NB}$
$NB = frac{8}{3}$ см
Теперь можем найти сторону MN, используя теорему Пифагора в треугольнике MNB:
$MN^2 = MB^2 + NB^2$
$MN^2 = left(frac{3 cdot MP}{7}right)^2 + left(frac{8}{3}right)^2$
$MN^2 = frac{9 cdot MP^2}{49} + frac{64}{9}$
$MN^2 = frac{9 cdot 20^2 cdot 35}{3^2 cdot 49 cdot 9} + frac{64}{9}$
$MN^2 = frac{14000}{49} + frac{64}{9}$
$MN^2 = frac{196000}{441} + frac{1936}{441}$
$MN^2 = frac{198936}{441}$
$MN = frac{6sqrt{1106}}{21}$ мм
