Вопрос школьника
Прямая, проходящая через точку пересечения биссектрис треугольника ABC, параллельна AC, пересекает стороны AB и BC в точках F и G соответственно. Найдите стороны AB и BC, учитывая, что AC = b, AF = m, GC = n.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрис треугольника ABC обозначена как I. Так как прямая IF параллельна стороне AC, то треугольники AIF и ABC подобны. Также треугольники BIG и BAC подобны, так как прямая IG параллельна стороне AC. Из подобия треугольников AIF и ABC можно записать:
$$frac{AB}{AC}=frac{IF}{AI}$$
Так как точка I является точкой пересечения биссектрис, то:
$$frac{IF}{AI}=frac{BF}{AB}$$
Следовательно,
$$frac{AB}{AC}=frac{BF}{AB}$$
Отсюда получаем:
$$AB^2=ACcdot BF=bcdot m$$
Аналогично, из подобия треугольников BIG и BAC можно записать:
$$frac{BC}{AC}=frac{IG}{AI}$$
Так как точка I является точкой пересечения биссектрис, то:
$$frac{IG}{AI}=frac{CG}{BC}$$
Следовательно,
$$frac{BC}{AC}=frac{CG}{BC}$$
Отсюда получаем:
$$BC^2=ACcdot CG=bcdot n$$
Итак, мы получили два уравнения:
$$AB^2=bcdot m$$
$$BC^2=bcdot n$$
Решая эти уравнения относительно AB и BC соответственно, получаем:
$$AB=sqrt{bcdot m}$$
$$BC=sqrt{bcdot n}$$
Таким образом, мы нашли стороны AB и BC, используя информацию о точке пересечения биссектрис и параллельной стороне прямой.
