Вопрос школьника
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках P и Q так, что BP = BQ. Докажите, что PQ ⊥ BD.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD обозначена как O. Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, то OB = OD и OA = OC.
Рассмотрим треугольники BOP и BOQ. Так как BP = BQ, то эти треугольники равнобедренные. Значит, углы PBO и QBO равны между собой.
Также заметим, что углы PBO и OBC являются смежными и дополнительными, так как прямая, проходящая через точку O, пересекает стороны AD и BC под прямым углом. Аналогично, углы QBO и ODC являются смежными и дополнительными.
Отсюда следует, что углы PBO и QBO равны между собой и дополнительны углам OBC и ODC. Значит, углы PBO и QBO в сумме дают прямой угол.
Таким образом, мы доказали, что угол PBQ равен 90 градусам. Значит, PQ ⊥ BD.
