Вопрос школьника
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма BCDE, отсекает на его сторонах CD и BE отрезки CK и BL, соответственно равные 1,3 дм и 1,7 дм. Найдите стороны параллелограмма, учитывая, что его периметр равен 10 дм.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения диагоналей параллелограмма BCDE обозначена буквой O. Так как прямая, проходящая через точку O, делит стороны CD и BE на отрезки CK и BL, то треугольники BLO и COK подобны соответственно треугольникам BEO и CDO.
Пусть AB и AD — стороны параллелограмма BCDE, тогда BC = DE = AB + AD. Периметр параллелограмма равен 2(AB + AD) = 10 дм, откуда AB + AD = 5 дм.
Так как треугольники BLO и COK подобны, то соотношение длин сторон равно соотношению длин соответствующих сторон:
BL/CO = LO/OB = 1.7/x,
CK/DO = KO/OE = 1/x,
где x — длина стороны параллелограмма.
Из подобия треугольников BEO и CDO следует, что
BE/CD = BO/CO = EO/DO = (AB + AD)/AD.
Заменяем BE и CD на выражения через CK и BL:
(CK + 1.7)/(BL + 1) = (AB + AD)/AD.
Подставляем AB + AD = 5 и находим CK и BL:
CK = 1.3 — x,
BL = 0.7 — x.
Подставляем CK и BL в выражение для BE/CD:
(1.7 — x)/(1 + 1.3 — x) = 5/AD.
Подставляем AD = 5 — AB и находим x:
x = 1.5 дм.
Таким образом, стороны параллелограмма равны AB = AD = 1.75 дм, BC = DE = 3 дм.
