Вопрос школьника
Прямая, проходящая через вершину А треугольника ABC перпендикулярно его медианы BD, делите эту медиану пополам. Найдите отношение длин сторон АВ i АС треугольника ABC
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения прямой, проходящей через вершину А и перпендикулярной медиане BD, с медианой BD равноудалена от точек B и D и обозначается как точка M. Тогда BM = MD.
Так как медиана BD делит сторону AC пополам, то AM является половиной медианы BD. Следовательно, AM = BM = MD.
Так как AM = BM, то треугольник ABM является равнобедренным, а значит, угол ABM равен углу BAM.
Так как MD = BM, то треугольник CDM является равнобедренным, а значит, угол CDM равен углу DCM.
Так как угол ABM равен углу BAM, а угол CDM равен углу DCM, то угол ABM + угол CDM = угол ABC.
Так как угол ABM + угол CDM = угол ABC, то угол ABC является прямым.
Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения отношения длин сторон АВ и АС.
Пусть AB = a, AC = b, и BC = c. Тогда, согласно теореме Пифагора, мы имеем:
a^2 + b^2 = c^2
Так как угол ABC является прямым, то мы можем использовать теорему Пифагора еще раз, чтобы выразить c через a и b:
c^2 = a^2 + (2b)^2 = a^2 + 4b^2
Таким образом, мы можем записать:
a^2 + b^2 = a^2 + 4b^2
b^2 = 3a^2
Отсюда следует, что:
b/a = sqrt(3)
Таким образом, отношение длин сторон АВ и АС треугольника ABC равно sqrt(3).
