Вопрос школьника
Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD, пересекает прямые АВ и AD в точках К и М. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников КВС и CDM равны соответственно S1 и S2.
Ответ от учителя
Пусть прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD, пересекает прямую АВ в точке К и прямую AD в точке М. Тогда, так как параллелограмм ABCD имеет противоположные стороны, параллельные друг другу, то и треугольники КВС и CMD также будут равны по площади.
Обозначим длину стороны AB параллелограмма ABCD через a, а длину стороны BC через b. Тогда, так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне AB, то треугольник КВС является подобным треугольнику АВС, и его площадь можно выразить через площадь треугольника АВС:
S1 = (CK/AC)^2 * S(ABC) = (CK/(a+b))^2 * (a*b)
Аналогично, так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне AD, то треугольник CMD является подобным треугольнику ACD, и его площадь можно выразить через площадь треугольника ACD:
S2 = (CM/AD)^2 * S(ACD) = (CM/(a+b))^2 * (a*b)
Так как треугольники КВС и CMD равны по площади, то S1 = S2, откуда получаем:
(CK/(a+b))^2 * (a*b) = (CM/(a+b))^2 * (a*b)
CK^2 = CM^2
Таким образом, точки К и М находятся на равном расстоянии от вершины С, то есть серединах сторон AB и CD соответственно. Поэтому, диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, являющейся серединой отрезка КМ.
Теперь можно выразить площадь параллелограмма ABCD через площадь треугольника КВО:
S(ABCD) = 2*S(KVO) = 2*(S1 + S2) = 2*((CK/(a+b))^2 * (a*b) + (CM/(a+b))^2 * (a*b)) = 2*(CK^2 + CM^2)/(a+b)^2 * (a*b)
Так как CK и CM являются высотами треугольников КВС и CMD соответственно, то:
CK = 2*S1/a = 2*S2/b
CM = 2*S2/a = 2*S1/b
Подставляя эти выражения в формулу для площади параллелограмма ABCD, получаем:
S(ABCD) = 2*((4*S1^2/a^2 + 4*S2^2/b^2)/(a+b)^2 * (a*b)) = 8*S1*S2/(a+b)
Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 8 произведению площадей треугольников КВС и CMD, деленному на сумму длин сторон AB и CD.
