Вопрос школьника
Прямая y=2x+b касается окружности x2+y2=5 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания
Ответ от учителя
Для того чтобы прямая касалась окружности, ее уравнение должно иметь единственное решение системы уравнений окружности и прямой. Так как точка касания находится на окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности:
x^2 + y^2 = 5
Также точка лежит на прямой y = 2x + b, поэтому ее координаты удовлетворяют этому уравнению:
y = 2x + b
Подставим y в уравнение окружности:
x^2 + (2x + b)^2 = 5
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
5x^2 + 4bx + b^2 — 5 = 0
Так как прямая касается окружности в точке с положительной абсциссой, то x > 0. Это означает, что уравнение имеет единственное решение, то есть дискриминант равен нулю:
D = 4b^2 — 4*5*(b^2 — 5) = 0
Решим уравнение относительно b:
4b^2 — 4*5*(b^2 — 5) = 0
b^2 — 25 = 0
b = ±5
Так как точка касания находится на прямой y = 2x + b, то ее координаты имеют вид (x, 2x + b). Подставим найденное значение b и решим систему уравнений:
x^2 + (2x + 5)^2 = 5
5x^2 + 20x + 20 = 0
x^2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)^2 = 0
x = -2
Таким образом, единственная точка касания находится в точке (-2, 1).
