Вопрос школьника
Прямоугольник ABCD вписан в большой круг шара. Вычислите объем шара, если диагональ АС прямоугольника образует со стороной АВ угол 30°, сторона СВ равна 4 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти радиус большого круга, в который вписан прямоугольник ABCD. Затем мы можем использовать формулу для объема шара, которая выглядит следующим образом:
V = (4/3)πr^3
где V — объем шара, r — радиус шара, π — число Пи (приблизительно равно 3,14).
Для начала найдем длину диагонали АС прямоугольника. Мы знаем, что угол между диагональю и стороной АВ равен 30°, а сторона СВ равна 4 см. Используя тригонометрические соотношения, мы можем найти длину диагонали:
AC = 2AB/sin(30°) = 4AB
AB = CB = CD = AD/2
Так как прямоугольник ABCD вписан в круг, то диагональ АС является диаметром круга. Значит, радиус круга равен половине длины диагонали:
r = AC/2 = 2AB
Теперь мы можем вычислить объем шара, используя формулу:
V = (4/3)πr^3 = (4/3)π(2AB)^3 = (32/3)π(AB)^3
Осталось найти длину стороны AB прямоугольника. Мы знаем, что AB = CD = 2r/√5, так как диагональ АС делит прямоугольник на два равнобедренных треугольника со сторонами в пропорции 1:√3. Подставляя это значение в формулу для объема шара, получаем:
V = (32/3)π[(2r/√5)^3] = (128/15)πr^3
Таким образом, объем шара, в который вписан прямоугольник ABCD, равен (128/15)πr^3, где r = 2AB.
