Вопрос школьника
Прямоугольник, длины сторон которого равны 6 см и 8 см, разделен диагональю на два треугольника. В каждый из этих треугольников вписана окружность. Вычислите расстояние между центрами окружностей.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится найти центры вписанных окружностей в каждый из треугольников. Для этого воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности в треугольник:
$r = frac{2S}{a+b+c}$,
где $S$ — площадь треугольника, $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника.
Для первого треугольника с длинами сторон 6 см, 8 см и $d$ см (где $d$ — длина диагонали) площадь можно найти по формуле Герона:
$S_1 = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,
где $p = frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.
Подставляя значения, получаем:
$p = frac{6+8+d}{2} = 7+d/2$
$S_1 = sqrt{(7+d/2)(d/2)(1/2)(15/2-d/2)} = sqrt{frac{15}{4}(d/2)(7-d/2)}$
$r_1 = frac{2S_1}{6+8+d} = frac{sqrt{frac{15}{4}(d/2)(7-d/2)}}{7+d}$
Аналогично для второго треугольника с длинами сторон 6 см, 8 см и $d$ см площадь можно найти по формуле Герона:
$S_2 = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,
где $p = frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.
Подставляя значения, получаем:
$p = frac{6+8+d}{2} = 7+d/2$
$S_2 = sqrt{(7+d/2)(d/2)(3/2)(1/2+d/2)} = sqrt{frac{21}{4}(d/2)(1+d/2)}$
$r_2 = frac{2S_2}{6+8+d} = frac{sqrt{frac{21}{4}(d/2)(1+d/2)}}{7+d}$
Теперь нам нужно найти расстояние между центрами окружностей. Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$, а расстояние между ними — через $d_{O_1O_2}$. Тогда:
$d_{O_1O_2} = O_1O_2 = O_1A + AO_2$,
где $A$ — точка пересечения диагонали и прямой, проходящей через центры окружностей.
Заметим, что $O_1A$ и $O_2A$ являются высотами треугольников $O_1AB$ и $O_2AB$ соответственно, где $AB$ — сторона прямоугольника. Так как эти треугольники подобны, то:
$frac{O_1A}{O_2A} = frac{r_1}{r_2}$
$O_1A = frac{r_1}{r_1+r_2}d$
$O_2A = frac{r_2}{r_1+r_2}d$
Теперь осталось найти $d$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $O_1AO_2$:
$d^2 = (O_1A + O_2A)^2 + AB^2$
$d^2 = (frac{r_1}{r_1+r_2}d + frac{r_2}{r_1+r_2}d)^2 + 6^2$
$d^2 = (frac{r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2}{(r_1+r_2)^2}d^2) + 36$
$d^2 = frac{r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2}{(r_1+r_2)^2}d^2 + frac{36(r_1+r_2)^2}{(r_1+r_2)^2}$
$d^2 = frac{r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 + 36(r_1+r_2)^2}{(r_1+r_2)^2}$
$d = sqrt{frac{r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 + 36(r_1+r_2)^2}{(r_1+r_2)^2}}$
Подставляя значения для $r_1$ и $r_2$, получаем:
$d = sqrt{frac{frac{15}{4}(d/2)(7-d/2) + 2sqrt{frac{15}{4}(d/2)(7-d/2)}sqrt{frac{21}{4}(d/2)(1+d/2)} + frac{21}{4}(d/2)(1+d/2) + 36(7+d)^2}{(7+d)^2}}$
$d = sqrt{frac{15(7-d/2) + 2sqrt{15cdot21}(d/2)sqrt{1+d/2} + 21(1+d/2) + 36(7+d)^2/4}{(7+d)^2}}$
$d = sqrt{frac{15(7-d/2) + 2sqrt{315}(d/2)sqrt{1+d/2} + 21(1+d/2) + 9(7+d)^2}{(7+d)^2}}$
$d = sqrt{frac{15(7-d/2) + 6sqrt{35}(d/2)sqrt{1+d/2} + 21(1+d/2) + 9(7+d)^2/4}{(7+d)^2}}$
$d = sqrt{frac{15(7-d/2) + 6sqrt{35}(d/2)sqrt{1+d/2} + 21(1+d/2) + 9(49+14d+d^2)/4}{(7+d)^2}}$
$d = sqrt{frac{15(7-d/2) + 6sqrt{35}(d/2)sqrt{1+d/2} + 21(1+d/2) + 9d^2/4 + 63d/4 + 441/4}{(7+d)^2}}$
$d = sqrt{frac{9d^2 + 126d + 441 + 60sqrt{35}dsqrt{1+d/2} + 60(7-d/2)sqrt{35}}{(7+d)^2}}$
$d = sqrt{frac{9d^2 + 126d + 441 + 60sqrt{35}dsqrt{1+d/2} + 210sqrt{35} — 30dsqrt{35}}{(7+d)^2}}$
$d = sqrt{frac{9d^2 + 96d + 651 + 60sqrt{35}dsqrt{1+d/2} — 30dsqrt{35}}{(7+d)^2}}$
Это уравнение можно решить численно, например, методом Ньютона. Однако, точное значение $d$ получить не удастся, так как оно является корнем уравнения пятой степени. Можно оценить его приблизительно, например, методом половинного деления.
