Вопрос школьника
Прямоугольник разбит на 3 части двумя отрезками, концы которых лежат на противоположных сторонах прямоугольника, и параллельными одной из его сторон. Сумма периметра прямоугольника и длин отрезков равна 1600 м. Найти стороны прямоугольника, если его площадь наибольшая.
Ответ от учителя
Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a>b$. Тогда площадь прямоугольника равна $S=ab$.
Пусть первый отрезок делит прямоугольник на две части со сторонами $x$ и $a$, а второй отрезок делит прямоугольник на две части со сторонами $y$ и $b$. Тогда периметр прямоугольника и длины отрезков можно выразить следующим образом:
$P = 2a + 2b = 2(x+a) + 2(y+b)$
$l_1 = x+y$
$l_2 = a+b$
Так как сумма периметра и длин отрезков равна 1600 м, то:
$P + l_1 + l_2 = 1600$
$2(x+a) + 2(y+b) + x+y + a+b = 1600$
$3x + 3y + 3a + 3b = 1600$
$x + y + a + b = frac{1600}{3}$
Также из условия задачи следует, что отрезки параллельны одной из сторон прямоугольника, поэтому $x$ и $y$ равны между собой. Тогда:
$2x + 2a + 2b = 1600$
$x + a + b = 800$
$x = 800 — a — b$
Теперь можно выразить площадь прямоугольника через $a$ и $b$:
$S = ab = a(800-a-b) = 800a — a^2 — ab$
Чтобы найти максимальную площадь, нужно найти максимум этой функции. Для этого нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю:
$frac{dS}{da} = 800 — 2a — b = 0$
$b = 800 — 2a$
Теперь можно подставить это выражение для $b$ в уравнение $x + a + b = 800$:
$x + a + (800 — 2a) = 800$
$x — a = 0$
$x = a$
Таким образом, отрезки, разбивающие прямоугольник, должны быть равны между собой. Тогда прямоугольник разбивается на три равные части, и каждая часть имеет длину $frac{800}{3}$.
Также из уравнения $x + a + b = 800$ следует, что $a+b$ должно быть максимальным, когда $a=b=400$. Таким образом, стороны прямоугольника равны 400 м и 200 м.
