Вопрос школьника
Прямоугольный треугольник ABB₁ (угол ABB₁ = 90 °) расположен в боковой грани АА₁В₁В прямоугольного параллелепипеда, который изображен на рисунке 107, е. Чему равна градусная мера угла В₁АВ, если угол AB₁B = 30°?
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать свойства прямоугольных треугольников и треугольников с углами 30°, 60° и 90°.
Из условия задачи мы знаем, что угол ABB₁ = 90°, а угол AB₁B = 30°. Также мы можем заметить, что треугольник AB₁B является треугольником с углами 30°, 60° и 90°, так как угол AB₁B = 30°, а угол B₁AB = 60° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Из свойств треугольников с углами 30°, 60° и 90° мы знаем, что соотношение между сторонами такого треугольника равно 1 : √3 : 2. Таким образом, мы можем найти длину стороны AB₁, если мы знаем длину стороны AB.
Пусть AB = x. Тогда, из свойств прямоугольных треугольников, мы можем найти длину стороны AB₁:
AB₁ = AB / tan(30°) = x / √3.
Теперь мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников, чтобы найти длину стороны B₁V₁. Мы знаем, что угол AB₁V₁ = 90°, а стороны AB₁ и AV₁ перпендикулярны. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора:
B₁V₁² = AB₁² + AV₁².
Мы знаем, что AB₁ = x / √3, а AV₁ = AB + BV₁ = x + B₁V₁. Таким образом, мы можем переписать уравнение в следующем виде:
B₁V₁² = (x / √3)² + (x + B₁V₁)².
Раскрыв скобки и упростив, мы получим:
B₁V₁² = x² / 3 + x² + 2xB₁V₁x + B₁V₁².
Перенеся все слагаемые с B₁V₁² на одну сторону, мы получим:
2xB₁V₁x = 2x² / 3.
Деля обе части на 2x, мы получим:
B₁V₁ = x / √3.
Таким образом, мы нашли длины сторон AB₁ и B₁V₁ в терминах длины стороны AB. Теперь мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников, чтобы найти градусную меру угла В₁АВ.
Мы знаем, что угол В₁АВ является углом между сторонами AV₁ и B₁V₁. Из свойств прямоугольных треугольников мы знаем, что:
tan(В₁АВ) = B₁V₁ / AV₁.
Мы уже нашли длины сторон B₁V₁ и AV₁ в терминах длины стороны AB:
B₁V₁ = x / √3, AV₁ = x + B₁V₁ = x + x / √3 = (3x + x√3) / √3.
Таким образом, мы можем выразить тангенс угла В₁АВ:
tan(В₁АВ) = (x / √3) / ((3x + x√3) / √3) = x / (3x + x√3) = 1 / (3 + √3).
Из определения тангенса мы знаем, что:
tan(В₁АВ) = opposite / adjacent,
где opposite — это длина противолежащего к углу В₁АВ катета, а adjacent — это длина прилежащего к углу В₁АВ катета. Таким образом, мы можем найти градусную меру угла В₁АВ, используя обратную функцию тангенса:
В₁АВ = arctan(1 / (3 + √3)) ≈ 14.48°.
Таким образом, мы получили, что градусная мера угла В₁АВ примерно равна 14.48°.