Вопрос школьника
Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти радиус окружности, по которой вращается треугольник, а затем вычислить площади боковой и полной поверхностей конуса.
Радиус окружности, по которой вращается треугольник, равен длине меньшего катета, то есть 6 см.
Для вычисления площади боковой поверхности конуса нам нужно найти длину образующей. Образующая — это гипотенуза прямоугольного треугольника, который образуется при развертывании боковой поверхности конуса. По теореме Пифагора:
c^2 = a^2 + b^2
где c — гипотенуза, a и b — катеты.
В нашем случае:
c^2 = 6^2 + 8^2
c^2 = 36 + 64
c^2 = 100
c = 10
Таким образом, длина образующей равна 10 см.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
Sб = π * r * l
где Sб — площадь боковой поверхности, r — радиус основания, l — длина образующей.
В нашем случае:
Sб = π * 6 * 10
Sб = 60π
Sб ≈ 188,5 см^2
Для вычисления полной поверхности конуса нам нужно найти площадь основания. Основание — это круг с радиусом 6 см. Площадь круга вычисляется по формуле:
Sк = π * r^2
где Sк — площадь круга, r — радиус.
В нашем случае:
Sк = π * 6^2
Sк = 36π
Таким образом, площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:
Sп = Sб + Sк
В нашем случае:
Sп = 60π + 36π
Sп = 96π
Sп ≈ 301,6 см^2
Ответ: площадь боковой поверхности конуса составляет около 188,5 см^2, а площадь полной поверхности — около 301,6 см^2.
