Вопрос школьника
Прямоугольный участок земли одной стороной выходит на пруд. Вдоль трёх других сторон требуется поставить забор длиной 60 м. Какие размеры должны быть у этого участка, чтобы его площадь была наибольшей? Вычислите площадь.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам нужно использовать математический аппарат дифференциального исчисления.
Обозначим длину стороны, выходящей на пруд, через x, а длины двух других сторон через y. Тогда площадь участка земли будет равна S = xy.
Так как требуется поставить забор длиной 60 метров, то периметр участка будет равен P = x + 2y + 60.
Теперь мы можем выразить одну из переменных через другую, используя формулу периметра: y = (P — x — 60)/2.
Подставим это выражение в формулу для площади: S = x(P — x — 60)/2.
Чтобы найти максимальное значение площади, нужно найти точку экстремума этой функции. Для этого возьмем производную по x и приравняем ее к нулю:
dS/dx = (P — 2x)/2 = 0
Отсюда получаем, что x = P/2.
Таким образом, чтобы площадь участка была наибольшей, длина стороны, выходящей на пруд, должна быть равна половине периметра: x = P/2.
Подставляя это значение в формулу для площади, получаем:
S = x(P — x — 60)/2 = (P/2)(P/2 — P/2 — 60)/2 = P^2/8 — 15P/2
Теперь осталось только подставить значение периметра P = x + 2y + 60 и вычислить площадь:
S = P^2/8 — 15P/2 = (P/8)(P — 120) = (x + 2y + 60)^2/8 — 15(x + 2y + 60)/2
S = (x + 2y + 60)^2/8 — 2250
Таким образом, чтобы площадь участка была наибольшей, его размеры должны быть следующими:
— длина стороны, выходящей на пруд: x = P/2 = (2y + 60)/2 = y + 30
— длины двух других сторон: y
— периметр: P = x + 2y + 60
Вычислим площадь:
S = (x + 2y + 60)^2/8 — 2250 = ((y + 2y + 60)/2 + 60)^2/8 — 2250 = (3y/2 + 90)^2/8 — 2250
S = 9y^2/32 + 27y/4 + 2025/2 — 2250 = 9y^2/32 + 27y/4 — 225/2
Теперь осталось только найти значение y, при котором площадь будет максимальной. Для этого можно использовать методы дифференциального исчисления, например, производную функции S(y) по y приравнять к нулю и решить полученное уравнение.
Однако, можно заметить, что функция S(y) является параболой с положительным коэффициентом при квадрате переменной, то есть ее вершина находится в точке минимума. Следовательно, чтобы найти максимальное значение площади, нужно найти точку, симметричную относительно вертикальной оси, с минимальным значением функции.
Так как длина забора должна быть 60 метров, то y не может быть меньше 20 метров. Попробуем подставить несколько значений y и выбрать наибольшее:
— при y = 20 метров: S = 225 м^2
— при y = 25 метров: S = 281,25 м^2
— при y = 30 метров: S = 315 м^2
— при y = 35 метров: S = 326,25 м^2
Таким образом, наибольшая площадь участка земли будет, если его размеры будут следующими:
— длина стороны, выходящей на пруд: x = y + 30 метров
— длины двух других сторон: y = 35 метров
— периметр: P = x + 2y + 60 = 140 метров
— площадь: S = 326,25 м^2.
