Вопрос школьника
Прямые а и b являются параллельными. Точка А лежит на прямой а, а точки В, О и С — на прямой b. Известно, что ВО = OA = ОС. Докажите, что АВ перпендикулярна АС.
Ответ от учителя
Для доказательства перпендикулярности отрезков АВ и АС необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю.
Пусть координаты точек А, В и С на плоскости заданы как (х1, у1), (х2, у2) и (х3, у3) соответственно.
Так как точка А лежит на прямой а, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой а:
(у — у1) / (у2 — у1) = (х — х1) / (х2 — х1)
Также, так как точки В, О и С лежат на прямой b и ВО = OA = ОС, то координаты этих точек удовлетворяют следующим уравнениям:
(у — у2) / (у3 — у2) = (х — х2) / (х3 — х2)
(у — у1) / (у3 — у1) = (х — х1) / (х3 — х1)
Решая систему из трех уравнений, можно найти координаты точек А, В и С:
х1 = (х2 + х3) / 2
у1 = (у2 + у3) / 2
Таким образом, точка А является серединой отрезка ВС.
Теперь найдем векторы АВ и АС:
АВ = (х2 — х1, у2 — у1)
АС = (х3 — х1, у3 — у1)
Их скалярное произведение равно:
АВ * АС = (х2 — х1) * (х3 — х1) + (у2 — у1) * (у3 — у1)
Раскрывая скобки, получаем:
АВ * АС = х2 * х3 — х1 * х3 — х2 * х1 + х1^2 + у2 * у3 — у1 * у3 — у2 * у1 + у1^2
Так как точка А является серединой отрезка ВС, то х1 = (х2 + х3) / 2 и у1 = (у2 + у3) / 2. Подставляя эти значения в выражение для АВ * АС, получаем:
АВ * АС = (х2 — х3)^2 / 4 + (у2 — у3)^2 / 4
Так как ВО = OA = ОС, то отрезки ВО и ОС являются радиусами окружности с центром в точке О. Значит, треугольник ВОС является равнобедренным, а угол ВОС равен 120 градусам.
Таким образом, отрезки ВО, ОА и ОС являются сторонами равностороннего треугольника, а точка А является его центром.
Из свойств равностороннего треугольника следует, что угол АВО равен 60 градусам, а угол АСО также равен 60 градусам.
Таким образом, скалярное произведение АВ * АС равно:
АВ * АС = (х2 — х3)^2 / 4 + (у2 — у3)^2 / 4 = (ВО^2 / 4) + (ОС^2 / 4) = (ОА^2 / 2)
Так как угол АВО равен 60 градусам, то косинус этого угла равен 1/2.
Таким образом, АВ * АС = (ОА^2 / 2) = ОА * АВ * cos(угол АВО) = ОА * АВ * 1/2
Отсюда следует, что АВ * АС = 0, если ОА ≠ 0.
Таким образом, отрезки АВ и АС перпендикулярны, что и требовалось доказать.
