Вопрос школьника
Прямые BE и A₁F лежат в плоскости грани AA₁B₁B параллелепипеда и параллельны, прямая B₁Q пересекает их в точках О и Т соответственно, а угол В₁ОЕ равен 83° (рис. 100, в). Вычислите градусную меру угла B₁TF.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что прямые BE и A₁F лежат в плоскости грани AA₁B₁B параллелепипеда и параллельны. Значит, угол между ними равен 180°.
Также из условия известно, что прямая B₁Q пересекает прямые BE и A₁F в точках О и Т соответственно. Значит, точки О, Т и B₁ лежат на одной плоскости.
Рассмотрим треугольник ОТB₁. Из свойств треугольника следует, что сумма углов треугольника равна 180°. Значит, угол ОТB₁ равен:
Угол ОТB₁ = 180° — угол ОТB — угол ТB₁О
Угол ОТB равен углу между прямыми BE и B₁Q, а угол ТB₁О равен углу между прямыми A₁F и B₁Q. Так как прямые BE и A₁F параллельны, то углы ОТB и ТB₁О равны между собой.
Значит, угол ОТB₁ равен:
Угол ОТB₁ = 180° — 2 угла между прямыми BE и B₁Q
Теперь рассмотрим треугольник B₁TF. Из свойств треугольника следует, что сумма углов треугольника равна 180°. Значит, угол B₁TF равен:
Угол B₁TF = 180° — угол B₁FT — угол B₁TF
Угол B₁FT равен углу между прямыми A₁F и B₁Q, а угол B₁TF равен углу между прямыми BE и B₁Q. Так как прямые BE и A₁F параллельны, то углы B₁FT и B₁TF равны между собой.
Значит, угол B₁TF равен:
Угол B₁TF = 180° — 2 угла между прямыми A₁F и B₁Q
Таким образом, чтобы вычислить градусную меру угла B₁TF, необходимо найти угол между прямыми A₁F и B₁Q. Для этого воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.
Теорема о трех перпендикулярах гласит, что если из точки Q опущены перпендикуляры QP, QR и QS на прямые AB, AC и AD соответственно, то угол между прямыми AB и AC равен углу между прямыми QR и QS.
Применим эту теорему к нашей задаче. Пусть точка Q лежит на прямой B₁Q, перпендикуляр QP опущен на прямую A₁F, а перпендикуляр QR опущен на прямую BE. Тогда угол между прямыми A₁F и B₁Q равен углу между прямыми QR и QP.
Заметим, что треугольники B₁QR и A₁QP подобны, так как углы B₁QR и A₁QP прямые, а углы между прямыми B₁Q и A₁F, а также между прямыми BE и A₁F равны между собой. Значит, отношение сторон этих треугольников равно отношению соответствующих высот.
Пусть h₁ и h₂ — высоты треугольников B₁QR и A₁QP соответственно. Тогда:
h₁/h₂ = B₁Q/ A₁F
Отсюда:
A₁F = B₁Q * h₂/h₁
Значит, чтобы найти угол между прямыми A₁F и B₁Q, необходимо найти отношение высот треугольников B₁QR и A₁QP и умножить его на длину отрезка B₁Q.
Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольников B₁QR и A₁QP:
B₁R² = B₁Q² + QR²
A₁P² = A₁Q² + QR²
Вычитая из первого уравнения второе, получим:
B₁R² — A₁P² = B₁Q² — A₁Q²
Заметим, что B₁R и A₁P — это высоты треугольников B₁QR и A₁QP соответственно. Таким образом, отношение высот равно:
h₂/h₁ = (B₁R² — A₁P²)/(B₁Q² — A₁Q²)
Теперь можно найти длину отрезка A₁F:
A₁F = B₁Q * (B₁R² — A₁P²)/(B₁Q² — A₁Q²)
И, наконец, можно найти угол между прямыми A₁F и B₁Q:
Угол между прямыми A₁F и B₁Q = arctg(h₂/h₁)
Таким образом, решив задачу, мы получим градусную меру угла B₁TF.
