Вопрос школьника
Прямые, касаются в круг с центром О в точках А i В, пересекаются в точке К, ∟AKB = 120 °.
Докажите, что АК + ВК = ОК
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами касательных к окружности.
Во-первых, заметим, что точки А, О и В лежат на одной прямой, так как они являются точками пересечения касательных к окружности в точках А и В. Поэтому, можно записать:
АО + ОВ = АВ
Во-вторых, заметим, что треугольник АКВ является равносторонним, так как ∟AKB = 120°, а значит, углы ∟AKВ и ∟ВКА равны по 30°. Поэтому, можно записать:
АК = ВК
Теперь, объединив эти два уравнения, получим:
АО + ОВ = 2АК
Выразим ОК через АК и ВК, воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольника ОКА и ОКВ:
ОК² = АК² + АО² (1)
ОК² = ВК² + ОВ² (2)
Сложим эти два уравнения:
2ОК² = АК² + ВК² + АО² + ОВ²
Заменим АК на ВК, используя равенство, полученное ранее:
2ОК² = 2ВК² + АО² + ОВ²
Разделим обе части на 2:
ОК² = ВК² + (АО² + ОВ²)/2
Заменим АО + ОВ на АВ, используя первое уравнение:
ОК² = ВК² + АВ²/2
Возьмем корень из обеих частей:
ОК = √(ВК² + АВ²/2)
Заменим ВК на АК, используя равенство, полученное ранее:
ОК = √(АК² + АВ²/2)
ОК = АК + √(АВ²/2)
ОК = АК + АВ/√2
Таким образом, мы доказали, что АК + ВК = ОК.
