Вопрос школьника
Прямые, проходящие через вершины правильного треугольника АBС и параллельные его противолежащим сторонам, пересекаются в точках А1, B1 и С1 (рис. 89, а). Докажите, что треугольник А1В1С1 — правильный.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что треугольник А1В1С1 является правильным, необходимо показать, что его стороны равны между собой и углы равны 60 градусов.
Рассмотрим стороны треугольника А1В1С1. По условию, прямые, проходящие через вершины А, В и С и параллельные противолежащим сторонам, пересекаются в точках А1, В1 и С1 соответственно. Таким образом, сторона А1В1 параллельна стороне СА, сторона В1С1 параллельна стороне АВ, а сторона С1А1 параллельна стороне ВС. Из этого следует, что треугольник А1В1С1 равнобедренный.
Далее, рассмотрим углы треугольника А1В1С1. Так как прямые, проходящие через вершины А, В и С и параллельные противолежащим сторонам, пересекаются в точках А1, В1 и С1 соответственно, то углы А1, В1 и С1 равны углам при вершинах А, В и С соответственно. Так как углы при вершинах правильного треугольника равны 60 градусов, то и углы треугольника А1В1С1 равны 60 градусов.
Таким образом, мы доказали, что треугольник А1В1С1 является равнобедренным и углы его равны 60 градусов, что и означает, что он является правильным.
