Вопрос школьника
Пусть a, b и с — длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что существуют положительные числа х, у и z такие, что a = х + у, b= у + z, с = z + х.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться геометрическим подходом. Рассмотрим треугольник ABC с длинами сторон a, b и c.
Проведем высоты AD, BE и CF, опущенные из вершин A, B и C соответственно. Тогда получим три прямоугольных треугольника ABD, BEC и CAF.
По теореме Пифагора в каждом из этих треугольников можно выразить длины сторон через длины высот и отрезков, на которые они делят гипотенузу:
AB^2 = AD^2 + BD^2
BC^2 = BE^2 + EC^2
CA^2 = CF^2 + AF^2
Заметим, что каждая из длин высот AD, BE и CF является отрезком, на который гипотенуза делится в отношении 2:1. То есть, например, AD = 2hx, где h — высота, а x — отрезок, на который гипотенуза BD делится.
Тогда можно выразить длины сторон треугольника ABC через x, y и z:
a = BD = AD + AB/2 = 2hx + AB/2 = hx + hy
b = EC = BE + BC/2 = 2hy + BC/2 = hy + hz
c = AF = CF + CA/2 = 2hz + CA/2 = hz + hx
Таким образом, мы получили положительные числа x, y и z, для которых выполняются равенства a = x + y, b = y + z и c = z + x. Что и требовалось доказать.
