Вопрос школьника
Пусть а и b — скрещивающиеся прямые. Точка А принадлежит прямой а, В — прямой b. Через прямую а и точку С на прямой АВ проведена плоскость а; через прямую b и эту же точку С проведена плоскость (3. Укажите линию пересечения плоскостей а и р.
Ответ от учителя
Линией пересечения плоскостей а и b будет прямая, проходящая через точку С и перпендикулярная обеим скрещивающимся прямым а и b.
Для того чтобы найти уравнение этой прямой, нужно найти направляющий вектор этой прямой.
Направляющий вектор прямой а можно найти как векторное произведение векторов, лежащих на этой прямой. Пусть точка M лежит на прямой а, тогда вектор AM лежит на прямой а. Также вектор, параллельный прямой а, можно получить как векторное произведение векторов, лежащих на прямой b. Пусть точка N лежит на прямой b, тогда вектор BN лежит на прямой b. Тогда направляющий вектор прямой, перпендикулярной а и проходящей через точку С, будет равен векторному произведению векторов AM и BN:
n = AM x BN
Аналогично, можно найти направляющий вектор прямой, перпендикулярной b и проходящей через точку С, как векторное произведение векторов, лежащих на прямой а:
m = BN x AM
Теперь, зная точку С и направляющие векторы n и m, можно записать уравнения прямых, проходящих через точку С и перпендикулярных прямым а и b соответственно:
n * (r — C) = 0
m * (r — C) = 0
где r — произвольная точка на искомой прямой.
Таким образом, линией пересечения плоскостей а и b будет прямая, заданная системой уравнений:
n * (r — C) = 0
m * (r — C) = 0
