Вопрос школьника
Пусть а, Ь, с — стороны треугольника,
а) Докажите, что а = b cos С + с cos В.
б) Докажите аналогичные формулы для других сторон треугольника.
в) Исходя из полученных формул, докажите неравенство треугольника, теорему косинуса.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник ABC, где AB = c, BC = a, AC = b. Проведем высоту CD из вершины C на сторону AB. Тогда получим два прямоугольных треугольника ACD и BCD. В треугольнике ACD применим теорему Пифагора: $b^2 = AD^2 + CD^2$. В треугольнике BCD применим теорему Пифагора: $a^2 = BD^2 + CD^2$. Вычтем из первого уравнения второе: $b^2 — a^2 = AD^2 — BD^2$. Заметим, что $AD = c cos B$ и $BD = c cos C$, так как $cos B$ и $cos C$ — это катеты прямоугольных треугольников ACD и BCD соответственно. Подставим это в предыдущее уравнение: $b^2 — a^2 = c^2 cos^2 B — c^2 cos^2 C$. Перенесем $a^2$ в левую часть и вынесем $c^2$ за скобки: $b^2 — a^2 = c^2 (cos^2 B — cos^2 C)$. Раскроем скобки в правой части, используя формулу $cos^2 x = 1 — sin^2 x$: $b^2 — a^2 = c^2 (sin^2 C — sin^2 B)$. Перенесем $a^2$ в правую часть: $b^2 = a^2 + c^2 (sin^2 C — sin^2 B)$. Раскроем скобки в правой части, используя формулу $sin^2 x = 1 — cos^2 x$: $b^2 = a^2 + c^2 (1 — cos^2 C — 1 + cos^2 B)$. Упростим: $b^2 = a^2 + c^2 (cos^2 B — cos^2 C)$. Поделим обе части на $2ac$: $frac{b^2}{2ac} = frac{a^2}{2ac} + frac{c^2}{2ac} (cos^2 B — cos^2 C)$. Заметим, что левая часть — это $cos A$ по формуле косинусов. Правая часть — это $cos^2 B — cos^2 C + cos A cos B — cos A cos C$. Перенесем $cos A$ в левую часть: $cos A = cos^2 B — cos^2 C + cos A cos B — cos A cos C — cos A$. Перенесем все слагаемые с $cos A$ в правую часть: $cos A = cos^2 B — cos^2 C — cos A cos B + cos A cos C + cos A$. Сгруппируем слагаемые: $cos A = cos C (cos A — cos B) + cos^2 B — cos^2 C$. Перенесем $cos^2 B$ в левую часть: $cos A — cos^2 B = cos C (cos A — cos B) — cos^2 C$. Раскроем скобки в правой части: $cos A — cos^2 B = cos A cos C — cos B cos C — cos^2 C$. Перенесем $cos A$ в правую часть: $cos^2 B = cos A cos C — cos B cos C — cos^2 C + cos A$. Раскроем скобки в правой части, используя формулу $cos A = 1 — cos B — cos C$: $cos^2 B = 2 cos B cos C — cos^2 C — 1$. Поделим обе части на $cos^2 C$: $frac{cos^2 B}{cos^2 C} = 2 frac{cos B}{cos C} — 1 — frac{1}{cos^2 C}$. Заметим, что левая часть — это $(frac{b}{c})^2$ по формуле косинусов. Правая часть — это $2 frac{cos B}{cos C} — 1 — (frac{1}{cos C})^2$. Подставим это в исходное уравнение: $a = b cos C + c cos B$.
б) Аналогично можно получить формулы для других сторон треугольника:
$b = a cos C + c cos A$
$c = a cos B + b cos A$
в) Из полученных формул можно вывести неравенство треугольника. Пусть $a geq b + c$. Тогда $a — b geq c$ и $a — c geq b$. Возведем обе части первого неравенства в квадрат: $a^2 — 2ab + b^2 geq c^2$. Аналогично возведем обе части второго неравенства в квадрат: $a^2 — 2ac + c^2 geq b^2$. Сложим эти два неравенства: $2a^2 — 2a(b + c) + b^2 + c^2 geq b^2 + c^2$. Упростим: $2a^2 — 2ab — 2ac geq 0$. Разделим обе части на $2bc$: $frac{a^2}{bc} — frac{a}{b} — frac{a}{c} geq 0$. Заметим, что левая часть — это $cos^2 A — cos B cos C — cos A cos B — cos A cos C$ по формуле косинусов. Так как $-1 leq cos x leq 1$ для любого $x$, то $cos^2 A — cos B cos C — cos A cos B — cos A cos C leq 0$. Получаем противоречие с тем, что $frac{a^2}{bc} — frac{a}{b} — frac{a}{c} geq 0$. Значит, $a < b + c$. Аналогично можно доказать, что $b < a + c$ и $c < a + b$. Таким образом, получаем неравенство треугольника: $a + b > c$, $a + c > b$, $b + c > a$.
Теорема косинусов следует из формулы $a = b cos C + c cos B$. Решая ее относительно $cos C$, получаем $cos C = frac{a^2 — b^2 — c^2}{2bc}$. Аналогично можно получить формулы для $cos A$ и $cos B$. Подставляя их в формулу косинусов, получаем $a^2 = b^2 + c^2 — 2bc cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 — 2ac cos B$, $c^2 = a^2 + b^2 — 2ab cos C$.
