Вопрос школьника
Пусть AA1, АА2, АА3 — соответственно высота, биссектриса и медиана, выходящие из вершины А треугольника ABC; AA2 при продолжении пересекает описанную около ABC окружность в точке D. Докажите, что DA3 параллельна A1 Докажите также, что А2 расположена между А1 и А3
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точка D лежит на описанной окружности треугольника ABC, а значит, угол BDC равен углу BAC (описанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу). Также заметим, что угол A2AC равен углу BAC (по определению биссектрисы), а угол A2DC равен углу BDC (описанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу).
Теперь рассмотрим треугольники A1A3C и A2DC. У них есть две пары соответственных углов: A1A3C и A2DC (оба равны углу BDC), а также углы при вершине A (они равны, так как A2 — биссектриса). Значит, эти треугольники подобны.
Из подобия треугольников A1A3C и A2DC следует, что соответствующие стороны пропорциональны. В частности, A1A3/A2D = A3C/DC. Но A3C/DC = 2 (по определению медианы), а значит, A1A3/A2D = 2. То есть A1A3 = 2A2D.
Теперь рассмотрим треугольники A1DA3 и A2DC. У них есть две пары параллельных сторон: A1A3 и A2D (по доказанному выше), а также DA3 и DC (по определению медианы). Значит, эти треугольники подобны.
Из подобия треугольников A1DA3 и A2DC следует, что соответствующие углы равны. В частности, угол A1DA3 равен углу A2DC. Но мы уже знаем, что угол A2DC равен углу BDC, который в свою очередь равен углу BAC. Значит, угол A1DA3 равен углу BAC.
Таким образом, мы доказали, что угол A1DA3 равен углу BAC. Но угол A1AA3 тоже равен углу BAC (он опирается на ту же дугу, что и угол A1DA3). Значит, A1DA3 и A1AA3 — это пары соответственных углов у двух параллельных прямых, а значит, эти прямые действительно параллельны.
Чтобы доказать, что A2 расположена между A1 и A3, заметим, что треугольник A1A2A3 — это треугольник, в котором A2 лежит на биссектрисе угла A, а A1 и A3 лежат на противоположных сторонах от этой биссектрисы. Значит, угол A2A1A3 больше половины угла A, а угол A2A3A1 меньше половины угла A. Но угол A2A1A3 и угол A2A3A1 равны (они опираются на одну и ту же дугу), а значит, они оба равны половине угла A. Значит, A2 расположена между A1 и A3.
