Вопрос школьника
Пусть ab— двузначное число, в котором сумма цифр а + b < 10. Докажите, что число acb , где с = a + b, кратно 11.
Ответ от учителя
Чтобы доказать, что число acb кратно 11, нужно показать, что разность суммы цифр на четных и нечетных позициях числа acb кратна 11.
Разложим число acb на сумму степеней десяти:
acb = a * 100 + c * 10 + b
Заметим, что:
c = a + b
Тогда:
acb = a * 100 + (a + b) * 10 + b
acb = a * 110 + b * 11
acb = 11 * (10a + b) + a * (11 — b)
Так как сумма цифр а + b < 10, то b < 9 и a < 10 - b. Также заметим, что 10a + b — двузначное число, так как a < 10 - b и b < 9. Теперь рассмотрим разность суммы цифр на четных и нечетных позициях числа acb: (10a + b) - a + (11 - b) = 10a + b - a - b + 11 = 9a + 11 Так как a < 10 - b, то 9a + 11 < 9(10 - b) + 11 = 89. Также заметим, что 9a + 11 — нечетное число. Таким образом, разность суммы цифр на четных и нечетных позициях числа acb равна 9a + 11, где a < 10 - b и 9a + 11 < 89. Значит, разность суммы цифр на четных и нечетных позициях числа acb кратна 11. Следовательно, число acb кратно 11.
