Вопрос школьника
Пусть движение переводит отрезок АВ в отрезок А’В’. Докажите, что середина С отрезка АВ перейдёт в середину С’ отрезка А’В’.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться свойством линейности движения.
Линейность движения означает, что оно сохраняет отношение расстояний и углов между точками и фигурами. То есть, если движение переводит точку А в точку А’ и точку В в точку В’, то отношение расстояний между этими точками будет сохраняться:
AB/AB’ = BV/B’V’
Также линейность движения означает, что оно сохраняет пропорции между отрезками и углами.
Из этого следует, что если движение переводит отрезок АВ в отрезок А’В’, то отношение расстояний между точками А и В будет сохраняться:
AB/AB’ = BV/B’V’
Так как точка С является серединой отрезка АВ, то ее расстояние до точки А будет равно ее расстоянию до точки В:
AC = BC
Аналогично, середина С’ отрезка А’В’ будет иметь равное расстояние до точек А’ и В’:
A’C’ = B’C’
Таким образом, если мы докажем, что движение сохраняет отношение расстояний между точками С и С’, то мы сможем заключить, что середина С отрезка АВ перейдет в середину С’ отрезка А’В’.
Для этого рассмотрим треугольники ABC и A’B’C’. Они равны по стороне AB и углу между ними, так как движение сохраняет углы и отношение расстояний между точками.
Таким образом, треугольники ABC и A’B’C’ подобны.
Из подобия треугольников следует, что отношение расстояний между точками С и С’ будет равно отношению длин сторон AB и A’B’:
CC’/CC = AB/A’B’
Но мы уже знаем, что AB/AB’ = BV/B’V’, поэтому
CC’/CC = BV/B’V’
Таким образом, мы доказали, что движение сохраняет отношение расстояний между точками С и С’, и поэтому середина С отрезка АВ перейдет в середину С’ отрезка А’В’.
