Вопрос школьника
Пусть х 1 , x 2 , …, х 25 — некоторый набор натуральных чисел, а набор y 1 , в 2 , …, в 25 получено из него в результате перестановки некоторых чисел. Докажите, что значение выражения (х 1 — в 1 ) • (х 2 — в 2 ) … (х 25 — в 25 ) является четным числом.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим два случая:
1. Если в наборе y 1 , в 2 , …, в 25 содержится хотя бы одно число, которого нет в наборе х 1 , x 2 , …, х 25 , то выражение (х 1 — в 1 ) • (х 2 — в 2 ) … (х 25 — в 25 ) будет равно нулю, так как один из множителей будет равен нулю. При этом ноль является четным числом, и утверждение остается верным.
2. Если все числа в наборе y 1 , в 2 , …, в 25 присутствуют в наборе х 1 , x 2 , …, х 25 , то каждый множитель вида (х i — в i ) будет иметь вид либо (a — a) = 0, либо (a — (a + 1)) = -1, либо ((a + 1) — a) = 1, где a — некоторое натуральное число. При этом количество множителей, равных нулю, будет четным (так как каждый ноль получается при перестановке двух одинаковых чисел), а количество множителей, равных -1 или 1, также будет четным (так как каждый множитель -1 или 1 получается при перестановке двух разных чисел). Следовательно, произведение всех множителей будет четным числом.
Таким образом, в любом случае выражение (х 1 — в 1 ) • (х 2 — в 2 ) … (х 25 — в 25 ) является четным числом.
