Вопрос школьника
Пусть J — центр вписанной в треугольник AВС окружности, прямая AJ пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что JD = DB = DC.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точка J является центром вписанной окружности треугольника ABC, а значит, отрезок AJ является биссектрисой угла BAC.
Также заметим, что точка D лежит на описанной окружности треугольника ABC, а значит, угол BDC является вписанным углом, а угол BAC является соответствующим углом.
Из этого следует, что угол BDC равен половине угла BAC, то есть углу BAJ. Но так как отрезок AJ является биссектрисой угла BAC, то угол BAJ также равен углу CAJ.
Таким образом, угол BDC равен углу CAJ, а значит, треугольники BDC и CAJ подобны. Из этого следует, что отношение сторон BD и DC равно отношению сторон AJ и JC.
Но так как точка J является центром вписанной окружности, то отрезок AJ равен отрезку CJ, а значит, отношение сторон AJ и JC равно единице.
Таким образом, отношение сторон BD и DC также равно единице, то есть BD = DC.
Теперь заметим, что точка D лежит на биссектрисе угла BAC, а значит, отрезок BD является биссектрисой угла BDC.
Таким образом, угол BDC делится отрезком BD на две равные части, то есть JD = DB.
Таким образом, мы доказали, что JD = DB = DC.
